Teoria bifurcației

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 mai 2021; verificările necesită 2 modificări .

Teoria bifurcațiilor sistemelor dinamice  este o teorie care studiază modificările din tabloul calitativ al partiției unui spațiu de fază în funcție de modificarea unui parametru (sau a mai multor parametri).

Prezentare generală

O bifurcație este o modificare calitativă a comportamentului unui sistem dinamic cu o modificare infinitezimală a parametrilor săi.

Conceptul central al teoriei bifurcațiilor este conceptul de sistem (ne)grund (vezi mai jos). Se ia orice sistem dinamic și o astfel de familie (multi)parametrică de sisteme dinamice este considerată că sistemul original este obținut ca un caz special - pentru orice valoare a parametrului(lor). Dacă, cu o valoare a parametrilor suficient de apropiată de cea dată, se păstrează o imagine calitativă a împărțirii spațiului de fază în traiectorii, atunci un astfel de sistem se numește brut . În caz contrar, dacă un astfel de cartier nu există, atunci sistemul se numește non- brut .

Aici ne referim, în primul rând, la fructuoasa idee fizică și matematică a lui A.A. Andronov despre sisteme brute, dezvoltate de el cu participarea lui L.S. Pontryagin . Un sistem brut este unul al cărui caracter calitativ al mișcării nu se modifică cu o modificare suficient de mică a parametrilor. Sistemele conservatoare nu sunt aspre: oscilațiile unui pendul ideal fără frecare sunt periodice (nu se degradează); dar nu există periodicitate în prezența unei frecări arbitrar mici. Orice generator de oscilații neamortizate are proprietăți caracteristice care nu sunt păstrate sub idealizarea conservatoare, dar sunt corect reprezentate de conceptul de „sistem brut”.Gorelik, 1955 [1]

Astfel, în spațiul parametrilor apar regiuni ale sistemelor brute, care sunt separate prin suprafețe formate din sisteme non-brutale. Teoria bifurcațiilor studiază dependența unei imagini calitative atunci când un parametru se modifică continuu de-a lungul unei anumite curbe. Schema după care se modifică imaginea calitativă se numește diagramă de bifurcație .

Principalele metode ale teoriei bifurcațiilor sunt metodele teoriei perturbațiilor. În special, se aplică metoda parametrilor mici (Pontryagin).

Bifurcarea echilibrelor

În sistemele mecanice, de regulă, mișcările în regim de echilibru (poziții de echilibru sau echilibru relativ ) depind de parametri . Valorile parametrilor la care se observă o modificare a numărului de echilibre se numesc valorile lor de bifurcație . Curbele sau suprafețele care descriu seturi de echilibre în spațiul stărilor și parametrilor sunt numite curbe de bifurcație sau suprafețe de bifurcație . Trecerea unui parametru printr-o valoare de bifurcare este, de regulă, însoțită de o modificare a proprietăților de stabilitate ale echilibrelor. Bifurcațiile echilibrelor pot fi însoțite de nașterea mișcărilor periodice și a altor mișcări mai complexe.

Concepte de bază

Parametrul a cărui modificare duce la o bifurcare se numește parametru critic (parametru de bifurcare) , iar valoarea acestui parametru la care are loc bifurcația se numește valoare critică .

Un punct din spațiul parametric (un spațiu în care fiecare punct corespunde unei anumite stări a sistemului, iar poziția acestui punct este determinată de valorile parametrilor și ale variabilelor de stare) la care are loc o bifurcație se numește punct de bifurcație . Mai multe soluții (stabile și instabile) pot veni dintr-un punct de bifurcație. Când parametrul critic oscilează (oscilează) în jurul punctului critic, apare o histerezis (ambiguitate) a proprietăților soluției.

Punctul de bifurcație de la care toate soluțiile care ies sunt stabile se numește punct de atracție (sau atractor ).

Reprezentarea oricărei proprietăți caracteristice a unei soluții în funcție de un parametru critic se numește diagramă de bifurcație .

Cel mai mic număr de parametri sub care are loc o bifurcație se numește codimensiunea bifurcației .

Supercritic (normal, supercritic) este o bifurcare în care sistemul se schimbă fără sărituri.

O bifurcație subcritică (inversă) este aceea în care schimbarea sistemului are loc brusc.

O succesiune de bifurcații care modifică calitativ proprietățile unui sistem se numește scenariu .

Vezi referințe [2] [3] [4] [5] .

Bifurcație șa-nodal

Un exemplu de bifurcare a nodului șa poate fi considerat pe baza sistemului descris de ecuația diferențială:

unde este un parametru variabil [6] . Soluțiile de echilibru ale ecuației sunt definite numai pentru ; la stările de echilibru lipsesc. Valoarea este bifurcațională. Figura prezintă diagrama de bifurcație corespunzătoare. După cum se poate observa din figură, din punctul de bifurcare ies două ramuri de stări de echilibru, dintre care una este stabilă, iar cealaltă este instabilă. Când se variază parametrul în direcția creșterii valorilor „din nimic”, se nasc două stări de echilibru, dintre care una stabilă. Bifurcațiile de acest fel sunt denumite „nod-șa”.

Vezi și

Literatură

  1. ↑ Gorelik G S , Aizerman M A. Introducere („Viața și operele lui A A Andronov” și) // În memoria lui Alexandru Alexandrovici Andronov / Ed. Leontovici, M.A. iar altele... - M .: Ed. Academia de Științe a URSS, 1955. - S. 3-19. — 718 p.
  2. ↑ Chetaev N. G. Stabilitatea mișcării. — M .: Nauka, 1955.
  3. ↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teoria bifurcațiilor sistemelor dinamice pe un plan. - M .: Nauka, 1967.
  4. ↑ Bautin N. N. , Leontovich E. A. Metode și tehnici pentru un studiu calitativ al sistemelor dinamice pe un plan. - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1990. - 488 p. — (Bibliotecă matematică de referință).
  5. ↑ Berger P. , Pomo I. , Vidal K. Order in haos. Despre abordarea deterministă a turbulenței: Per. din franceză.- M . : Mir, 1991. - 368 p. — ISBN 5-03-001804-2 .
  6. ↑ Bifurcații ale sistemelor dinamice - Digiratory . digitale.ru. Data accesului: 11 ianuarie 2017.

Link -uri