Teoria potențialului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 8 aprilie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Teoria potențialului - ramură a matematicii și fizicii matematice , dedicată studiului proprietăților ecuațiilor diferențiale în derivate parțiale în zone cu o limită suficient de netedă prin introducerea unor tipuri speciale de integrale care depind de anumiți parametri, numite potențiale .

Teoria potențialului abstract este o generalizare a teoriei potențialului la spații topologice abstracte [1] ; ca teorie abstractă principală, se folosește conceptul de spațiu armonic - un spațiu topologic arbitrar echipat cu un pachet de funcții reale continue care au proprietăți ( fixate axiomatic ) caracteristice funcțiilor armonice [1] .

Istorie

A apărut inițial ca parte a mecanicii cerești , studiind proprietățile forțelor atractive care acționează conform legii gravitației universale . Principala contribuție la crearea și dezvoltarea inițială a teoriei a fost adusă de Newton , Lagrange , Legendre , Laplace . În special, Lagrange a arătat că câmpul forțelor gravitaționale este potențial .

Începând cu Gauss, metoda potențialelor a început să fie aplicată și la problemele de electrostatică și magnetism , „masele” (sarcini, magnetizare) unui semn arbitrar au început să fie considerate potențiale. Ca parte a dezvoltării teoriei în secolul al XIX-lea, au fost identificate principalele probleme cu valoarea limită: problema Dirichlet , problema Neumann , problema Robin , problema balayage-ului în masă , Lyapunov și Steklov au avut o contribuție semnificativă la studiul de bază. probleme de valoare limită la sfârşitul secolului al XIX-lea .

Rezultatele teoriei au fost generalizate substanţial la începutul secolului al XX-lea folosind teoria aparatului de măsură şi funcţiile generalizate . Ulterior, funcțiile analitice , armonice și subarmonice sunt implicate în teoria potențialului, un set de instrumente pentru teoria probabilității .

În anii 1950, pe baza metodelor de topologie și analiză funcțională , a fost dezvoltată o teorie abstractă axiomatică a potențialelor.

Principalele tipuri de potențiale

Potențiale logaritmice (potențiale bidimensionale)

Potențialul zonei

Pe un plan, potențialul logaritmic de volum (sau potențialul ariei) este o integrală a formei

V(M)=\int \limits _{D}\rho (Q)\ln {\frac {1}{R_{QM)}}d\sigma _{Q)

Dacă densitatea este continuă împreună cu primele sale derivate, atunci potențialul de volum este soluția clasică a ecuației Poisson : $\rho (M)$

{\Delta }V=-{2\pi \rho }

Potențialul logaritmic al unui strat simplu

În cazul bidimensional, potențialul unui strat simplu este integrala:

V(M)=\int \limits _{C}\mu (P)\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}

unde este o curbă. $C$

Potențial logaritmic dublu strat

Potențialul stratului dublu pe plan este integrala:

W(M)=-\int \limits _{C}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P))}\ln {\frac {1}{R_{MP }}}dl_{P}

unde este normala exterioară la curba în punctul . În cazul unei curbe deschise, direcția normalei exterioare este aleasă în mod arbitrar. $\mathbf {n} _{P)$ $C$ $P$

Potențiale tridimensionale

Potențial în vrac

Fie funcția , integrală $D$ $\rho (M)$

V(M)=\int \limits _{D}{\frac {\rho (Q)}{R_{QM)}}dV

numit potenţial de volum.

Funcția este potențialul unei sarcini punctuale unitare, definită în toate punctele , concentrată într-un punct . Dacă o sarcină cu o densitate de volum este distribuită continuu în regiunea , atunci, în virtutea principiului suprapunerii, este firesc să presupunem că potențialul creat de o distribuție de sarcină volumică dată este exprimat prin integrala de mai sus. Funcția se numește densitate potențială. ${\frac {1}{R_{QM}})$ $M\neq Q$ $Q$ $D$ $\rho (M)$ $\rho (M)$

Dacă densitatea este continuă împreună cu primele sale derivate, atunci potențialul de volum este soluția clasică a ecuației Poisson : $\rho (M)$

{\Delta}V=-{4\pi \rho )

Potențiale de suprafață Potențial de strat simplu

Potențialul unui strat simplu în cazul tridimensional este integrala

V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}}{R_{MP}}},

unde este o suprafață, este o funcție definită pe suprafață , se numește densitatea potențială a unui strat simplu. $S$ $\mu (P)$ $S$

Proprietăți:

$\Delta V(M)=0,\forall M\notin S.$
$V=O\left({\frac {1}{r}}\dreapta),r\rightarrow \infty .$
$V\în C(\mathbb {R} ^{3})$ , dacă este o suprafață netedă , densitatea este mărginită și continuă. $S$ $\mu (Q)$
Fie o suprafață Lyapunov închisă care mărginește domeniul , , fi normala exterioară la suprafața în punctul . Apoi, discontinuitatea potențială la trecerea prin suprafață este determinată de următoarele formule: $S$ $D$ $P_{0}\în S$ $\mathbf {n} _{e}(P)$ $S$ $P\în S$ $S$

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)( M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\ dreapta)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)( M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S))\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\ dreapta)(M)=4\pi \mu (P_{0}).

Potențial dublu strat

Potențialul stratului dublu în cazul tridimensional este integrala:

W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P)}}{\frac {1}{R_{MP)} }dS_{P},

unde este o suprafață cu două fețe, este normala exterioară la suprafață într-un punct (în cazul în care suprafața nu este închisă, normala exterioară este aleasă arbitrar), este o funcție dată pe suprafață , se numește densitate a potenţialului dublu strat. $S$ $\mathbf {n} _{P)$ $S$ $P$ $S$ $\nu (P)$ $S$

Expresia pentru potențialul dublu strat poate fi, de asemenea, rescrisă ca:

W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi {R_{MP}^{2)}}dS_{P},

unde este unghiul dintre normala interioară la suprafață în punct și vectorul . $\varphi$ $S$ $P$ $\mathbf {PM}$

Proprietăți:

$\Delta W(M)=0,\forall M\notin S.$
$W=O\left({\frac {1}{r^{2}}}\dreapta),r\rightarrow \infty .$
Fie suprafața Lyapunov . Potențialul unui strat dublu cu o densitate continuă și mărginită pe suprafață există, adică este o integrală improprie convergentă la . $S$ $|\nu (P)|\leq C$ $S$ $M\în S$
Fie o suprafață Lyapunov închisă care mărginește domeniul , . Apoi, discontinuitatea potențialului stratului dublu la trecerea prin suprafață este determinată de următoarele formule: $S$ $D$ $P_{0}\în S$ $S$

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}) ,

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{ 0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\ notin D\cup S}}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).

Note

↑ 1 2 I. M. Vinogradov. Spațiu armonic // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)

Literatură

I. M. Vinogradov. Spațiu armonic // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Capitolul V. Ecuații de tip eliptic. Probleme cu valori la limită pentru ecuația Laplace. // Prelegeri de fizică matematică. — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M . : Editura Universității de Stat din Moscova; Știință, 2004. - S. 203. - 416 p. — ISBN 5-211-04899-7 .
Tihonov A. N., Samarsky A. A. Capitolul IV. Ecuații de tip eliptic. // Ecuații ale fizicii matematice. - Ed. a VII-a. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova; Știință, 2004. - S. 348. - 798 p. — ISBN 5-211-04843-1 .
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX528702 BNF : 119328485 J9U : 987007529486205171 LCCN : sh85105671 NKC : ph126569 SUDOC : 02724346X