Puțul cuantic triunghiular

Un puț cuantic triunghiular este unul dintre profilurile potențiale simple din mecanica cuantică , permițând o soluție exactă la problema găsirii nivelurilor de energie și a funcțiilor de undă ale unui purtător de sarcină .

Un puț de potențial triunghiular unidimensional este delimitat pe o parte de un perete de potențial infinit de mare ( la ) și, pe de altă parte, de o barieră de potențial înclinată infinit de mare la . Acest tip de energie potențială corespunde unui câmp uniform care acționează asupra unei particule cu o forță [1] . Exemple de astfel de câmpuri sunt un câmp electric uniform ( este sarcina particulei, este puterea câmpului electric ) [2] și câmpul gravitațional al gravitației ( este masa particulei, este accelerația gravitației ) [3] . $U(x)\rightarrow +\infty$ $-\infty <x\leqslant 0$ $0<U\left(x\right)=Fx<+\infty$ $0<x<+\infty$ $U(x)$ $-F=dU/dx$ $U\left(x\right)=q\mathrm {E} _{el}x\geq 0$ $q$ $\mathrm {E} _{el}$ $U\left(x\right)=mgx$ $m$ $g$

Soluție

Ecuația Schrödinger și condițiile sale la limită în acest caz unidimensional pot fi scrise ca [1] :

{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m^{*}}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx) \psi =0\,,

\psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.

Aici , este masa efectivă a particulei, este constanta Planck redusă și sunt energia dorită și funcția de undă a particulei. $m^{*}$ $\hbar$ $E$ $\psi$

Pentru a simplifica o analiză suplimentară, este introdusă o variabilă adimensională [1]

\xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F))\right),

Unde

\alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}

Atunci ecuația Schrödinger va lua forma ecuației Airy :

\psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,.

Rezolvarea acestei ecuații care satisface condiția are forma: $\psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0$

\psi (\xi)=CAi(\xi)\,,

unde este funcția Airy de primul fel, este definită după cum urmează: $AI$

Ai(\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^ {3}}{3}}+u\xi }\right)\,du\,.

Valorile proprii ale energiei particulelor ( ) din sondele triunghiulare sunt determinate din prima condiție la limită $E=E_{n)$ $n=1,\,\,2,..$

\psi (x=0)=\psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\, ,

unde sunt zerourile funcției Airy. Primele cinci zerouri sunt aproximativ egale: , , , , . Pentru zerourile mari ale funcțiilor Airy sunt determinate de expresia: $\xi _{n}=-a_{n}$ $a_{1}=2,33810741$ $a_{2}=4,08794944$ $a_{3}=5,52055983$ $a_{4}=6,78670809$ $a_{5}=7,94413359$ $n\gg 1$

a_{n}\aprox \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2 /3}\,.

Valorile constantelor se găsesc din condiția de normalizare a funcției de undă [4] $C_{n}$

\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1

Calcularea integralei [5]

{\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty } {d\xi }A{{i}^{2}}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi A{{i}^{2}}\left(\xi \right)-{{\left(A{i}'\left(\xi \right)\right)}^{2}}\right]_ {\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(A{i }'\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{aliniat}}

găsi

{{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{Ai'\left(-{{a}_{n}}\right))),

unde este derivata functiei Airy. Ca rezultat, găsim funcțiile de undă și spectrul de energie discretă pentru un puț de potențial triunghiular sub forma: $Ai'(\xi )$

{{\psi }_{n}}\left(x\right)={\frac {{\alpha }^{1/2}}{A{i}'\left(-{{a} _{n}}\right)}}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right);

E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m^{*} }}.

Funcțiile sunt ortogonale [6] : $\psi _{n}(x)$

${\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n} }{{C}_{m))}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\times \left[A{i} „\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left. Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x =0}^{\infty }=0\\\end{aliniat}}$

la . Pentru puțul luat în considerare, nu există conceptul de „lățime”, deoarece funcțiile de undă pot fi diferite de zero pentru . Lățimea regiunii clasice accesibile ( ) se găsește din condiție $n\neq m$ $X$ $E>U(x)$

U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}

si este

x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.

Aplicarea rezultatelor

Problema luată în considerare a căpătat semnificație în studiile sistemelor bidimensionale de gaze electronice în straturi inverse în apropierea interfețelor dielectric-semiconductor. Deși în astfel de sisteme profilul benzii de conducție într-un semiconductor este mai complicat decât liniar, iar discontinuitatea benzii de conducție la heterointerfață nu este infinită, imediat lângă această limită puțul este considerat a fi aproximativ triunghiular, iar discontinuitatea benzii este suficient de mare.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Landau L. D., Lifshitz E. M. Capitolul III. Punctul 25. Mișcarea într-un câmp omogen. // Mecanica cuantică. Teoria non-relativista . - Moscova: Nauka, 1989. - S. 100. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 . (Rusă)
↑ V. N. Neverov, A. N. Titov. Partea 1. Capitolul 1. 1.4. Tipuri de sisteme cu dimensiuni reduse. // Fizica sistemelor de dimensiuni joase . — Ekaterinburg: Instituția de învățământ de stat de învățământ profesional superior „Ural State University. A. M. Gorki”, 2008. - S. 17. - 232 p.
↑ Z. Flügge. Problema 40. Cădere liberă lângă suprafața pământului // Probleme de mecanică cuantică / ed. A. A. Sokolova. - Moscova: Mir, 1974. - T. 1. - S. 100. - 340 p. (Rusă)
↑ Landau L. D., Lifshitz I. M. Capitolul 1. Concepte de bază ale mecanicii cuantice // Mecanica cuantică (teoria nonrelativista). - Moscova: Știință. Ch. ed. fizica si matematica lit., 1989. - T. 3. - S. 20. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. Partea 8. Aplicații la fizica cuantică // FUNCȚII AIRY ȘI APLICAȚII LA FIZICĂ (engleză) . - Londra: Imperial College Press, 2004. - P. 139. - 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. Partea 3. Primitive și integrale ale funcțiilor aerisite // FUNCȚII AIRY ȘI APLICAȚII LA FIZICĂ (engleză) . - Londra: Imperial College Press, 2004. - P. 47. - 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 .

Literatură

Ando T., Fowler A, Stern F. Proprietăți electronice ale sistemelor bidimensionale. Pe. din engleza. - M .: Mir, 1985. - 416 p.
Landau L.D., Lifshits E.M. Mecanica cuantică (teorie nonrelativistă). - ediția a VI-a, revizuită. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 800 s. - („Fizica teoretică”, Volumul III). — ISBN 5-9221-0530-2 .

Link

Fântână triunghiulară

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu