Cartier tubular

O vecinătate tubulară a unei subvariete dintr-o varietate este o mulțime deschisă care înconjoară subvarietatea și este structurată local ca un pachet normal .

Motivație

Să clarificăm noțiunea de vecinătate tubulară cu un exemplu simplu. Luați în considerare o curbă netedă în plan fără auto-intersecții. În fiecare punct al curbei, trageți o linie perpendiculară pe această curbă. Dacă curba nu este dreaptă , aceste perpendiculare se pot intersecta între ele în moduri destul de complexe. Totuși, dacă luăm în considerare o panglică foarte îngustă în jurul curbei, bucățile de perpendiculare aflate în panglică nu se vor intersecta și vor acoperi întreaga curbă fără goluri. O astfel de panglică este doar o vecinătate tubulară a curbei.

În cazul general, luați în considerare o subvarietate a varietății M și N este pachetul normal la subvarietatea S în M . În acest caz, S joacă rolul unei curbe, iar M joacă rolul unui plan care conține această curbă. Luați în considerare maparea naturală $S\subset M$

i:N_{0}\rightarrow S

care stabilește o corespondență unu-la-unu între secțiunea zero a mănunchiului N și o subvarietă S a lui M . Fie j extensia acestei mapări la întregul pachet normal N cu valori în varietatea M , unde j ( N ) este o mulțime deschisă în M și j este un homeomorfism între N și j ( N ). Atunci j se numește vecinătate tubulară. $N_{0}$

Adesea, vecinătatea tubulară a unei subvariete S se numește nu harta j în sine , ci imaginea sa T = j ( N ), implicând astfel existența unui homeomorfism j între mulțimile N și T .

Proprietăți

Pentru o subvarietă netedă închisă a unei varietăți Riemanniane, mulțimea de puncte aflate la distanță de formează o vecinătate tubulară pentru toate valorile pozitive suficient de mici ale . $N$ $N_\varepsilon$ $<\varepsilon$ $N$ $N$ $\varepsilon$

Vezi și

formula tubului

Literatură

M. Hirsch Topologie diferenţială. - M: Mir, 1979. [1]