Triedrul Frenet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 martie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Cadrul sau triedrul lui Frenet sau Frenet - Serret , cunoscut și sub numele de natural , însoțitor , însoțitor , este un cadru ortonormal în spațiu tridimensional care apare la studierea curbelor biregulare, adică astfel încât derivatele prima și a doua sunt liniar independente la orice punct.

Definiție

Fie o curbă birregulară parametrizată în mod natural în spațiul euclidian . Cadrul Frenet este înțeles ca un triplu de vectori , , , asociat cu fiecare punct al curbei biregulare , unde $r(s)$ $\tau$ $\nu$ $\beta$ $r(s)$

$\tau ={\dot {r}}(s)$ este vectorul tangent unitar,
$\nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}$ este vectorul unitar al normalei principale ,
$\beta =[\tau ,\nu ]$ este vectorul unitar al binormalului la curba în punctul dat.

Proprietăți

Dacă este un parametru natural al curbei, atunci vectorii sunt legați prin relațiile: $s$ $s$ ${\tau},{\nu },{\beta }$ ${\begin{aligned}{\dot {\tau }}&=k\cdot {\nu },\\{\dot {\nu }}&=-k\cdot {\tau }+t\ cdot {\beta },\\{\dot {\beta }}&=-t\cdot {\nu },\end{aligned}}$

numite formulele lui Frenet . Cantitati

k=||{\ddot {\gamma }}(s)||,\quad t=-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle

se numesc, respectiv, curbura si torsiunea curbei intr-un punct dat.

Funcțiile și definesc curba până la mișcarea spațiului. $k(s)$ $t(s),$
- Mai mult, dacă , o astfel de curbă există. $k(s)>0$

Viteza și accelerația în axele unui triedru natural

Triedrul lui Frenet joacă un rol important în cinematica unui punct atunci când descrie mișcarea acestuia în „axele însoțitoare”. Lăsați punctul material să se miște de-a lungul unei curbe biregulare arbitrare. Apoi, evident, viteza punctului este direcționată de-a lungul vectorului tangent . Diferențiând în funcție de timp, găsim expresia pentru accelerație: . Componenta vectorului se numește accelerație tangențială , ea caracterizează modificarea modulului de viteză al unui punct. Componenta de la vector se numește accelerație normală . Acesta arată cum se modifică direcția de mișcare a punctului. ${v}=v{\tau )$ ${a}={\dot {v}}{\tau }+v^{2}k{\nu }$ ${\tau )$ ${\displaystyle {\nu ))$

Variații și generalizări

Când descriem curbele plane , este adesea introdus conceptul așa-numitei curburi orientate.

Fie o curbă regulată plană parametrizată în mod natural arbitrară. Luați în considerare o familie de normali unități astfel încât două să formeze o bază corectă în fiecare punct . Curbura orientată a unei curbe într-un punct se numește număr . În baza ipotezelor făcute, are loc următorul sistem de ecuații, numit formule Frenet pentru curbura orientată $\gamma (s)$ ${\nu _{o)}$ $({\tau},{\nu _{o))}$ $\mathbf {\gamma } (s)$ $\gamma$ $s$ $k_{o}=\langle {\ddot {\gamma }}(s),\;{\nu _{o}}\rangle$

${\dot {\tau }}=k_{o}{\nu _{o}}\quad {\dot {\nu _{o}}}=-k_{o}{\tau }$ .

Prin analogie cu cazul tridimensional, ecuațiile de formă se numesc ecuații naturale ale unei curbe regulate plane și o determină complet. $k_{o}=f(s)$

Vezi și

Triedrul Darboux este o construcție similară pentru o curbă pe o suprafață.

Literatură

Toponogov, V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .