Centralizator și Normalizator

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 octombrie 2018; verificările necesită 4 modificări .

În matematică , centralizatorul unei submulțimi S a unui grup G este mulțimea de elemente ale lui G care comută cu fiecare element al lui S , iar normalizatorul lui S este mulțimea de elemente ale lui G care comută cu S „în ansamblu”. Centralizatorul și normalizatorul S sunt subgrupuri ale lui G și pot face lumină asupra structurii lui G.

Definiția se aplică și semigrupurilor .

În teoria inelelor, centralizatorul unei submulțimi a unui inel este definit în raport cu operația de semigrup (înmulțire). Centralizatorul de submulțime al lui R este un subinel al lui R. Acest articol vorbește și despre centralizatori și normalizatori în algebra Lie .

Idealizatorul într-un semigrup sau inel este o altă construcție în aceeași ordine de idei cu centralizatorul și normalizatorul.

Definiții

Grupuri și semigrupe

Centralizatorul unei submulțimi S a unui grup (sau semigrup) G este definit ca [1]

\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs

pentru toți

s\în S\}

Uneori, în absența ambiguității, grupul G este complet definit de notație. Dacă S ={ a } este o mulțime formată dintr-un singur element, C G ({ a }) poate fi redus la C G ( a ). O altă notație, mai puțin obișnuită, pentru centralizator este Z( a ), care face o paralelă cu notația pentru centrul grupului . Trebuie avut grijă aici să nu se confunde centrul lui G , Z( G ), cu centralizatorul unui element g din G , care se notează Z( g ).

Normalizatorul S din grupul (sau semigrupul) G este prin definiție egal cu

\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}

Definițiile sunt similare, dar nu identice. Dacă g este un centralizator al lui S și s aparține lui S , atunci , totuși, dacă g este un normalizator, pentru un t din S , posibil diferit de s . Aceeași convenție de omitere a G și a parantezelor pentru mulțimile unui singur element este, de asemenea, utilizată pentru normalizator. Normalizatorul nu trebuie confundat cu închiderea normală . $gs = sg$ $gs = tg$

Inele, algebre, inele și algebre Lie

Dacă R este un inel sau o algebră și S este o submulțime a unui inel, atunci centralizatorul lui S este exact același cu definiția pentru grupuri, cu excepția faptului că G este înlocuit cu R .

Dacă este o algebră Lie (sau un inel Lie ) cu un produs Lie [ x , y ], atunci centralizatorul submulțimii S este definit ca [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$

\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0

pentru toți

s\în S\}

Definiția centralizatoarelor pentru inelele Lie este legată de definiția inelelor în felul următor. Dacă R este un inel asociativ, atunci pentru R se poate stabili produsul paranteză [ x , y ] = xy − yx . În mod firesc, xy = yx dacă și numai dacă [ x , y ] = 0. Dacă notăm mulțimea R cu produs paranteză drept L R , atunci este clar că centralizatorul inelului S în R coincide cu centralizatorul Lie. inelul S în L R .

Normalizatorul unei submulțimi S a unei algebre Lie (sau a unui inel Lie) este dat de egalitatea [2] $\mathfrak{L}$

\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S

pentru toți

s\în S\}

În timp ce această definiție este standard pentru termenul „normalizator” în algebra Lie, trebuie remarcat că această construcție este de fapt un idealizator al unei mulțimi S în . Dacă S este un subgrup aditiv al lui , atunci este cel mai mare subring Lie (sau subalgebră Lie) în care S este un ideal Lie . [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$ $\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)$

Proprietăți

Semigrupuri

Fie S ′ un centralizator, adică pentru toate Atunci: $S'=\{x\în A: sx=xs\$ $s\în S\}.$

S ′ formează un subsemigrup .
$S' = S''' = S'''''$ — comutatorul este bicomutantul său .

Grupuri [3]

Centralizatorul și normalizatorul S sunt subgrupuri ale lui G .
Este clar că C G (S)⊆ N G (S). De fapt, C G ( S ) este întotdeauna un subgrup normal al lui N G ( S ).
C G ( C G (S)) conține S , dar C G (S) nu conține neapărat S . C G (S) se va potrivi cu S dacă st = ts pentru orice s și t din S . Desigur, dacă H este o subgrupă abeliană a lui G , C G (H) conține H .
Dacă S este un subsemigrup al lui G , atunci N G (S ) conține S.
Dacă H este un subgrup al lui G , atunci cel mai mare subgrup în care H este normal este un subgrup al lui N G (H).
Centrul lui G este exact C G (G) și G este un grup abelian dacă și numai dacă C G (G)=Z( G ) = G .
Pentru mulţimile formate dintr-un element, C G ( a )= N G ( a ).
Din principiul simetriei, dacă S și T sunt două submulțimi ale lui G , T ⊆ C G ( S ) dacă și numai dacă S ⊆ C G ( T ).
Pentru un subgrup H al unui grup G , grupul de factori N G ( H )/ C G ( H ) este izomorf cu subgrupul Aut( H ), grupul de automorfism al grupului H . Deoarece N G ( G ) = G și C G ( G ) = Z( G ), rezultă de asemenea că G /Z( G ) este izomorf cu Inn( G ), subgrupul lui Aut( G ) constând din toate automorfismele interioare a lui G.
Dacă definim un homomorfism de grup T : G → Inn( G ) prin stabilirea T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , atunci putem descrie N G ( S ) și C G ( S ) în termenii de acțiune ai grupului Inn( G ) pe G : stabilizatorul S al lui Inn( G ) este T ( N G ( S )), iar subgrupul Inn( G ) care fixează S este T ( C G ( S )).

Inele și algebre [2]

Centralizatorii din inele și algebre sunt subinele și, respectiv, subalgebre, iar centralizatorii din inelele Lie și algebrele Lie sunt subinele Lie și, respectiv, subalgebrele Lie.
Normalizatorul S din inelul Lie conține centralizatorul S .
C R ( C R ( S )) conține S , dar nu este neapărat același cu acesta. Teorema centralizatorului dublu tratează cazurile în care rezultatul este o potrivire.
Dacă S este un subgrup aditiv al unui inel Lie A , atunci N A ( S ) este cel mai mare subgrup Lie al lui A în care S este un ideal Lie.
Dacă S este un subinel Lie al inelului Lie A , atunci S ⊆ N A ( S ).

Vezi și

Intrerupator
stabilizator de subgrup
Norma (teoria grupurilor)
Multiplicatoare și centralizatoare (spații Banach)
Teorema centralizatorului dublu
Idealizer

Note

↑ Jacobson, 2009 , p. 41.
↑ 1 2 3 4 Jacobson, 1979 .
↑ Isaacs, 2009 .

Link -uri

I. Martin Isaacs. Algebră: un curs absolvent. — retipărire a originalului din 1994. — Providence, RI: Societatea Americană de Matematică, 2009. — p. xii+516. — (Studii universitare de matematică). - ISBN 978-0-8218-4799-2 .
Nathan Jacobson. Algebră de bază. - 2. - Dover, 2009. - T. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
Nathan Jacobson. Lie algebre. republicarea originalului din 1962. - New York: Dover Publications Inc., 1979. - P. ix + 331. — ISBN 0-486-63832-4 .