Teoria inelelor este o ramură a algebrei generale care studiază proprietățile inelelor - structuri algebrice cu adunare și înmulțire, similare ca comportament cu adunarea și înmulțirea numerelor. Există două ramuri ale teoriei inelelor: studiul inelelor comutative și necomutative.
Inelele comutative sunt mai bine cercetate în general, fiind subiectul principal de studiu în algebra comutativă , care este o parte importantă a matematicii moderne, oferind instrumentele pentru dezvoltarea geometriei algebrice și a teoriei numerelor algebrice . Aceste trei teorii sunt atât de strâns legate încât nu este întotdeauna posibil să se indice cărei zone îi aparține un anumit rezultat, de exemplu, teorema lui Hilbert zero joacă un rol fundamental în geometria algebrică, dar este formulată și demonstrată în termeni de algebrei comutative. Un alt exemplu este Ultima Teoremă a lui Fermat ., care este formulată în termeni de aritmetică elementară (care face parte din algebra comutativă), dar demonstrația sa folosește rezultate profunde atât din geometria algebrică, cât și din teoria algebrică a numerelor.
Comportamentul inelelor necomutative este mai complicat, teoria lor a fost dezvoltată independent de algebra comutativă destul de mult timp, dar la sfârșitul secolului XX a existat tendința de a construi această teorie într-un mod mai geometric, luând în considerare astfel de inele. ca inele de funcţii pe (inexistente) „spatii necomutative”. Această tendință a apărut în anii 1980 odată cu apariția geometriei necomutative și descoperirea grupurilor cuantice , prin aplicarea metodelor acestor teorii, s-a realizat o mai bună înțelegere a inelelor necomutative, în special a inelelor noetheriene necomutative. [1] .
Comun pentru toate inelele:
Teoreme structurale pentru unele clase de inele: