Echivalența categoriei

Echivalența categoriilor în teoria categoriilor este o relație între categorii care arată că două categorii sunt „în esență aceleași”. Stabilirea echivalenței mărturisește legătura profundă a conceptelor matematice corespunzătoare și permite „transferul” teoremelor de la o structură la alta.

Definiție

Pentru două categorii C și D , echivalența lor este dată dacă sunt date un functor F : C → D , un functor G : D → C , și două izomorfisme naturale ε: FG → I D și η : I C → GF . Aici I C : C → C și I D : D → D sunt functori identici pe C și respectiv D . Dacă F și G sunt functori contravarianți, aceasta definește dualitatea categoriilor .

Formulări echivalente

Se poate arăta că un functor F : C → D definește echivalența categoriei dacă și numai dacă:

destul de unic și
este dens, adică în clasa de izomorfism a oricărui element d din categoria D , există un obiect care are o preimagine în C sub acțiunea lui F .

Acesta este criteriul cel mai frecvent utilizat, deoarece nu necesită construcția explicită a unui functor „invers” și două transformări naturale. Pe de altă parte, deși proprietatea de mai sus garantează existența unei echivalențe, unele date se pierd deoarece uneori echivalența se poate face în moduri diferite. Prin urmare, un functor F cu astfel de proprietăți este uneori numit echivalență de categorie slabă .

O altă formulare folosește conceptul de functori adjuncți : F și G definesc echivalența categoriilor dacă și numai dacă ambii sunt complet univalenți și sunt adjuncți.

Exemple

Între o categorie de un obiect și un morfism și o categorie de două obiecte și patru morfisme: două identice și două izomorfisme , puteți stabili echivalența, de exemplu, take , sending to și , sending everything to . Totuși, de exemplu, o categorie nu este echivalentă cu o categorie de două obiecte și două morfisme identice. $C$ $c$ $1_{c}$ $D$ $d_{1)$ $d_{2)$ $1_{d_{1)}$ $1_{d_{2)}$ $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ $\beta \colon d_{2}\to d_{1)$ $F$ $c$ $d_{1)$ $G$ $D$ $c$ $C$
Fie ca categoria să fie formată dintr-un obiect și două morfisme , unde . Apoi definește un izomorfism natural cu el însuși (netrivial, deoarece acționează asupra morfismelor într-un mod neidentic). $C$ $c$ $1_{c},f\colon c\to c$ $f\circ f=1$ $f$ $\mathbf {I} _{C}$
Categoria spațiilor vectoriale reale de dimensiuni finite și categoria (obiectele sunt numere naturale, morfismele sunt matrici ale dimensiunii corespunzătoare) sunt echivalente: functorul atribuie unui spațiu vectorial dimensiunea acestuia (care corespunde alegerii în fiecare spațiu de bază). $C$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ $F\colon C\la D$
Una dintre temele centrale ale geometriei algebrice este dualitatea categoriilor de scheme afine și inele comutative . Functorul corespunzător trimite inelul la spectrul său, o schemă formată din idealuri prime .

Proprietăți

Cu echivalența categoriei, toate proprietățile „categorice” sunt păstrate: de exemplu, proprietatea de a fi un obiect inițial , un monomorfism , o limită sau proprietatea unei categorii de a fi un topos .

Dacă F : C → D este o echivalență de categorii și G 1 , G 2 sunt „invers” față de F , atunci G 1 și G 2 sunt izomorfe în mod natural.

Literatură

Echivalența categoriilor - articol din Encyclopedia of Mathematics
McLane S. Capitolul 4. Functori adjuncţi // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .