Exponenţial

Exponențialul este un analog teoretic categoriei al mulțimii de funcții din teoria mulțimilor . Categoriile în care există limite finite și exponențiale sunt numite carteziene închise .

Definiție

Să fie produse binare în categoria . Apoi exponențialul poate fi definit ca un morfism universal de la un functor la . (Functorul de la to mapează un obiect la și morfisme la ). $C$ $Z^{Y}$ $[-]\time Y$ $Z$ $[-]\time Y$ $C$ $C$ $X$ $X \time Y$ $\varphi$ $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$

Mai explicit, exponențialul obiectelor și este un astfel de obiect, împreună cu un morfism numit harta de evaluare , încât pentru orice obiect și morfism există un morfism unic pentru care următoarea diagramă este comutativă: $Z^{Y}$ $Z$ $Y$ $eval\colon Z^{Y}\time Y\to Z$ $X$ $g\colon X\time Y\la Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$

Dacă exponențialul există pentru toate în , atunci functorul care trimite la este dualul drept al . În acest caz, există o bijecție naturală : $Z^{Y}$ $Z$ $C$ $Z$ $Z^{Y}$ $[-]\time Y$

\mathrm {Hom} (X\time Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})

Exemple

În categoria mulțimilor , un exponențial este mulțimea tuturor funcțiilor de la la ( putere cardinală ). Pentru orice mapare , maparea este forma curry : $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $g\colon (X\ori Y)\rightarrow Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ $g$

\lambda g(x)(y)=g(x,y)

În categoria spaţiilor topologice , există un exponenţial dacă este un spaţiu Hausdorff compact local . În acest caz , este mulțimea de funcții continue de la până la cu topologia compact-deschis . Dacă nu este un spațiu Hausdorff compact local, exponențialul poate să nu existe (spațiul va exista, dar maparea poate să nu mai fie continuă). Din acest motiv, categoria spațiilor topologice nu este carteziană închisă . $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $\lambda$

Literatură

Goldblatt R. Topoi. Analiza categorica a logicii = Topoi. Analiza categorială a logicii / Per. din engleza. V. N. Grishin și V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Categorii abstracte și concrete (Bucuria pisicilor ) . — John Wiley & Sons , 2006.