Secvență exactă exponențială

O secvență exactă exponențială este o secvență exactă scurtă fundamentală de snopi folosită în geometria algebrică complexă [1] .

Definiție

Fie o varietate complexă , și să fie un snop de funcții holomorfe și subgrupul său constând din funcții care nu dispar nicăieri. Exponentul complex specifică maparea $M$ ${\mathcal {O}}_{M}$ ${\mathcal {O}}_{M}^{*}$

\exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},

care este un homomorfism de snopi de grupuri abeliene . Această mapare este local surjectivă și are un nucleu , care oferă o secvență exactă exponențială [1] $2\pi \mathbb {Z}$

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 .

Proprietăți

Această secvență exactă nu este surjectivă pe secțiuni globale , de exemplu, într-un disc perforat , dar continuă la o secvență lungă exactă de coomologie a snopului , care începe ca

0\la H^{0}(\mathbb {Z} )\la H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\la H^{0}({\mathcal { O}}_{N}^{*})\la H^{1}(\mathbb {Z} )\la H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\la H^ {1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots

unde este grupul Picard , adică grupul clasa izomorfism al fasciculelor de linii , și este prima clasă Chern [1] . $H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})$ $c_{1}$

Note

↑ 1 2 3 Griffiths F., Harris J. Principles of algebric geometry = Principles of algebraic geometry. - M . : Mir, 1982. - Vol. 1. - ISBN 9780471050599 .