Excentricitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Excentricitatea este o caracteristică numerică a unei secțiuni conice , care arată gradul abaterii acesteia de la un cerc . Notat de obicei prin sau . $e$ $\varepsilon$

Excentricitatea este invariabilă în cazul mișcărilor plane și transformărilor de similaritate .

Definiție

Toate secțiunile conice nedegenerate, cu excepția cercului , pot fi descrise în felul următor: alegem un punct și o dreaptă pe plan și setăm un număr real ; atunci locul punctelor pentru care raportul distanțelor până la punct și față de linie este egal cu , este o secțiune conică; adică dacă există o proiecție pe , atunci $F$ $d$ $e>0$ $M$ $F$ $d$ $e$ $M'$ $M$ $d$

FM=e\cdot MM'

Acest număr se numește excentricitatea secțiunii conice. Excentricitatea unui cerc este, prin definiție, 0. $e$

Definiții înrudite

Punctul se numește focarul secțiunii conice. $F$
Linia dreaptă se numește directrice . $d$

Secțiune conică în coordonate polare

Secțiunea conică, al cărei focare este situat la pol, este dată în coordonate polare de ecuația:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

unde este excentricitatea și este un alt parametru constant (așa-numitul parametru focal ). $e$ $\ell$

Este ușor de arătat că această ecuație este echivalentă cu definiția dată mai sus. În esență, poate fi folosită ca o definiție alternativă a excentricității, poate mai puțin fundamentală, dar convenabilă din punct de vedere analitic și aplicat; în special, arată clar rolul excentricității în clasificarea secțiunilor conice și într-un anumit fel clarifică în continuare sensul său geometric.

Proprietăți

În funcție de excentricitate, se va dovedi:
- când - hiperbolă . Cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mare, cu atât cele două ramuri ale acesteia arată mai mult ca linii drepte paralele; $e>1$
- cand - parabola ; $e=1$
- cand - elipsa ; $0\leq e<1$
- pentru un cerc , . $e=0$

Excentricitatea elipsei și hiperbolei este egală cu raportul dintre distanța de la focar la centru la semi-axa majoră. Această proprietate este uneori luată ca definiție a excentricității. În vremuri trecute (de exemplu, în 1787 [1] ) nu se împărțeau la semiaxa majoră - distanța de la focar la centru se numea excentricitatea elipsei [2] .
Excentricitatea unei elipse poate fi exprimată și prin raportul dintre semiaxele minore ( ) și majore ( ): $b$ $A$

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentricitatea unei hiperbole poate fi exprimată în termeni de raportul dintre semiaxele imaginare ( ) și reale ( ): $b$ $A$

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentricitatea unei hiperbole echilaterale, care este un grafic de proporționalitate inversă și dat de ecuația , este egală cu . $f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$ ${\sqrt {2}}$

Pentru o elipsă, ea poate fi exprimată și în termeni de raportul dintre razele peri- ( ) și apocentrul ( ): $r_{\mathrm {per} }$ $r_{\mathrm {ap} }$

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}

Vezi și

Note

↑ John Bonnycastle. O Introducere în Astronomie . - Londra, 1787. - S. 90.
↑ Dicționarul englez Oxford . — Ed. a II-a. - Oxford: Oxford University Press , 1989. - Vol. V. - P. 50.

Literatură

Akopyan AV , Zaslavsky AA Proprietăţi geometrice ale curbelor de ordinul doi . — M.: MTsNMO , 2007. — 136 p.

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Britannica (online) Desktop
În cataloagele bibliografice	GND : 4340863-1