Rețeaua Epsilon

O rețea ε ( rețea epsilon , mulțime densă ε ) pentru o submulțime a unui spațiu metric este o mulțimedin același spațiuastfel încât pentru orice punctexistă un punctcareeste la cel mult ε distanță de . $M$ $X$ $Z$ $X$ $x\în M$ $z\în Z$ $X$

Definiții înrudite

Un spațiu metric în care există o rețea finită pentru fiecare se numește complet mărginit . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

Se spune că o metrică dintr-o mulțime este complet mărginită dacă este un spațiu metric complet mărginit. $\rho$ $X$ $(X,\rho)$

O familie de spații metrice astfel încât pentru oricare să existe un număr natural astfel încât fiecare spațiu să admită o rețea de cel mult puncte este numită universal complet mărginită . $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepsilon$
- Pentru astfel de familii, un analog al teoremei de compactitate a lui Gromov este valabil .

Un spațiu topologic care este homeomorf la un spațiu metric total mărginit se numește metrică total mărginită metrizabilă .

Exemple

Pentru metrica standard, mulțimea numerelor raționale este o rețea ε pentru mulțimea numerelor reale pentru orice ε > 0 .
Mulțimea numerelor întregi este o rețea ε pentru mulțimea numerelor reale pentru $\varepsilon\ge 0{,}5$

Proprietăți

Un spațiu metric are o metrică echivalentă total mărginită dacă și numai dacă este separabilă .
Un spațiu topologic este metrizabil de o metrică total mărginită dacă și numai dacă este regulat și satisface cea de-a doua axiomă de numărabilitate .
Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este complet și complet mărginit. Într-o formulare puțin mai generală, teorema de compactitate a lui Hausdorff afirmă că pentru ca o submulțime a unui spațiu metric să fie relativ compact , este necesar, iar dacă spațiul este complet , este suficient ca pentru oricare să existe o ε -net finită de elemente. a setului . $M$ $X$ $X$ $\varepsilon > 0$ $M$

Dovada

Nevoie

Fie mulțimea (relativ) compactă. Reparăm și luăm în considerare orice element . Dacă pentru oricare , atunci o rețea ε finită a unui element a fost deja construită. În caz contrar, există un element astfel încât . Mai sunt două posibilități. Fie pentru oricare cel puțin unul dintre numere, fie este mai mic decât , și apoi ε -net finită a două elemente a fost deja construită, fie există un element astfel încât , , și așa mai departe. Să arătăm că procesul de construire a punctelor se va termina după un număr finit de pași, ceea ce înseamnă că se va construi o ε -net finită. Dacă nu ar fi cazul, atunci am obține o secvență pentru care la . Dar atunci nici succesiunea în sine și nici una dintre subsecvențele sale nu pot converge, ceea ce contrazice compactitatea mulțimii . Deci, pentru o mulțime compactă, am construit o ε -net finită ale cărei puncte aparțin mulțimii în sine. $M$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \în M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepsilon$ $x \în M$ $x_{2} \în M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \în M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \în M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $eu \neq j$ $\{ x_{n} \},$ $M$ $M$

Adecvarea

Să presupunem că pentru oricare există o ε -net pentru mulțimea . Să luăm o secvență numerică , unde pentru și pentru fiecare construim o -rețea . Luați în considerare o succesiune arbitrară . Deoarece există o -net pentru , atunci, indiferent de element , vom avea asta pentru cel puțin un element . Prin urmare, orice element se încadrează în cel puțin o bilă , adică întregul set , și cu atât mai mult întreaga secvență , va fi amplasată în aceste bile. Deoarece există un număr finit de bile și succesiunea este infinită, există cel puțin o bilă care va conține o subsecvență infinită a secvenței noastre. Acest raționament poate fi repetat pentru . Să facem o subsecvență diagonală . Să arătăm că această secvență converge în sine. Deoarece și pentru sunt incluse în subsecvența -a, iar subsecvența -a este conținută în minge , atunci pentru . Din presupunere, spațiul este plin. Prin urmare, din convergența în sine a șirului urmează convergența acesteia la o anumită limită, iar aceasta dovedește posibilitatea selectării unei subsecvențe convergente din orice șir, adică compactitatea (relativă) a mulțimii [1] $\varepsilon > 0$ $M$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $n$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{ x_{n} \} \în M$ $N_{1}$ $\varepsilon_{1}$ $M$ $x \în M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \în N_{1}$ $x \în M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}$ $M$ $\{ x_{n} \}$ $\{ x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})$ $\{ x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \ldots$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \rightarrow \infty$ $X$ $\{ x_{k}^{(k)} \}$ $\{ x_{n} \}$ $M.$

Un spațiu metric complet este compact dacă și numai dacă pentru oricare din el există o ε -net compactă. $\varepsilon> 0$

Note

↑ Sobolev V.I. Prelegeri despre capitole suplimentare de analiză matematică. - M .: Nauka, 1968 - p. 59.

Literatură

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Curs de geometrie metrică. Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2004, 512 p. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.