Spațiu metric

Un spațiu metric este o mulțime în care este definită o distanță între orice pereche de elemente .

Definiții

Spațiul metric este o pereche , unde este o mulțime și este o funcție numerică care este definită pe produsul cartezian , ia valori în mulțimea numerelor reale nenegative și este astfel încât $(X,\;d)$ $X$ $d$ $X\ ori X$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( axioma identității ).
$d(x,y)=d(y,x)$ ( axioma de simetrie ).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( axioma triunghiului sau inegalitatea triunghiului ).

în care

multimea se numeste multimea de baza a spatiului metric. $X$
elementele multimii se numesc puncte ale spatiului metric. $X$
funcția se numește metrică . $d$

Note

Din axiome rezultă că funcția de distanță este nenegativă, deoarece $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Dacă reprezentăm inegalitatea triunghiului ca $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ pentru toti , si , $X$ $y$ $z$

atunci axioma simetriei rezultă din axioma identității și inegalitatea triunghiului.

Aceste condiții exprimă noțiuni intuitive despre conceptul de distanță și, prin urmare, sunt numite axiome de distanță . [1] De exemplu, că distanța dintre diferite puncte este pozitivă și distanța de la până la este aceeași cu distanța de la până la . Inegalitatea triunghiului înseamnă că distanța de la până la prin nu este mai mică decât direct de la până la . $X$ $y$ $y$ $X$ $X$ $z$ $y$ $X$ $z$

Notație

De obicei, distanța dintre puncte și în spațiul metric este notată cu sau . $X$ $y$ $M$ $d(x,y)$ $\rho (x,y)$

În geometria metrică, desemnarea sau este acceptată , dacă este necesar să subliniem că vorbim despre . Se folosesc și simbolurile și (în ciuda faptului că expresia pentru puncte și nu are sens). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $M$ $|xy|$ $|xy|_{M}$ $X y$ $X$ $y$
În geometria clasică, denumirile sau sunt acceptate (punctele sunt de obicei notate cu majuscule latine). $X Y$ $|XY|$

Definiții înrudite

O bijecție între diferite spații metrice și care păstrează distanțe se numește izometrie ; $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$
- În acest caz, spațiile și se numesc
izometrice . $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$

Dacă , și pentru , atunci spunem că converge către : [2] .

x_{n}\in X

x\în X

d(x_{n},x)\la 0

n\la\infty

x_{n)

X

x_{n}\la x

Dacă o submulțime a mulțimii , atunci, având în vedere restrângerea metricii la mulțime , putem obține un spațiu metric , care se numește subspațiu al spațiului .

M

X

d_{M}=d_{X}|_{M)

d_{X}

M

(M,d_{M})

(X,d)

Un spațiu metric se numește complet dacă vreo secvență fundamentală din el converge către un element al acestui spațiu.

O metrică on se numește intern dacă oricare două puncte și în pot fi conectate printr-o curbă cu o lungime arbitrar apropiată de . $d$ $M$ $X$ $y$ $M$ $d(x,y)$
- Un spațiu se numește geodezic dacă oricare două puncte și în pot fi conectate printr-o curbă cu lungime egală cu . $X$ $y$ $M$ $d(x,y)$
Orice spațiu metric are o topologie naturală , care se bazează pe un set de bile deschise , adică seturi de următorul tip:

B(x;r)=\{y\în M\mid d(x,y)<r\},

unde este un punct în și este un număr real pozitiv numit raza bilei. Cu alte cuvinte, un set este deschis dacă, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține o bilă deschisă centrată în acel punct.

X

M

r

O

Se spune că două metrici care definesc aceeași topologie sunt echivalente .
Se spune că un spațiu topologic care poate fi obținut în acest fel este metrizabil .
Distanța de la un punct la o submulțime în este determinată de formula: $d(x,S)$ $X$ $S$ $M$

d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\)

. Apoi , numai dacă aparține de închidere .

d(x,S)=0

X

S

Exemple

Măsură discretă :, dacă, șiîn toate celelalte cazuri. $d(x,y)=0$ $x=y$ $d(x,y)=1$
Numerele reale cu funcție de distanță și spațiul euclidian sunt spații metrice complete. $d(x,\;y)=|yx|$
Distanța blocurilor : , unde , sunt vectori. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i }-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots,q_{n})$
Fie spațiul mapărilor continue și mărginite de la un spațiu topologic la un spațiu metric . Distanța dintre două mapări și față de acest spațiu este definită ca $F(X,Y)$ $X$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x), f_{2}(x))\colon x\in X \}$ .

Convergența mapărilor în raport cu această metrică este echivalentă cu convergența lor uniformă pe întreg spațiul .

X

În cazul particular când este un spațiu compact și este o dreaptă reală, se obține spațiul tuturor funcțiilor continue pe un spațiu cu metrica convergenței uniforme.

X

Y

C(X)

X

Fie , , spațiile funcțiilor de pe intervalul , respectiv Lebesgue integrabil, Riemann integrabil și continuu. În ele, distanța poate fi determinată prin formula: $L([a,b])$ $R([a,b])$ $C([a,b])$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

Pentru ca această funcție să devină metrică, în primele două spații este necesar să se identifice funcții care diferă pe un set de măsură 0 . În caz contrar, această funcție va fi doar o semimetrică. (În spațiul funcțiilor care sunt continue pe un interval, funcțiile care diferă pe un set de măsură 0 coincid oricum.)

În spațiul de timp funcții diferențiabile continuu, metrica este introdusă prin formula: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{ 1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

unde este metrica convergenței uniforme pe (vezi mai sus).

d_{0}

C([a,b])

Orice spațiu normat poate fi transformat într-unul metric prin definirea funcției de distanță $d(x,y)=\|yx\|$ .
- Spațiile cu dimensiuni finite de acest tip se numesc spații Minkowski ;
- În cazul unei dimensiuni egale cu două - planul Minkowski .

Dacă este o succesiune de seminorme care definesc un spațiu vectorial topologic ( local convex ) , atunci $(p_{n})_{n\in N)$ $E$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n)}}{\frac {p_{n}(xy)}{ 1+p_{n}(xy)}}

este o metrică care definește aceeași topologie . (Poate fi înlocuit cu orice succesiune însumabilă de numere strict pozitive .)

{\frac {1}{2^{n}})

(un})

Orice varietate Riemanniană conectată poate fi transformată într-un spațiu metric prin definirea distanței ca fiind cea mai mică infimă dintre lungimile căilor care leagă o pereche de puncte. $M$

Setul de vârfuri ale oricărui graf conectat poate fi transformat într-un spațiu metric prin definirea distanței ca număr minim de muchii dintr-o cale care leagă vârfurile. Mai general, dacă fiecărei muchii a unui grafic i se atribuie un număr pozitiv (lungimea muchiei), distanța dintre vârfuri poate fi definită ca suma minimă a lungimii muchiilor de-a lungul oricărei căi de la un vârf la altul. $G$
- Un caz special al exemplului anterior este așa-numita metrică feroviară franceză , care este adesea citată ca exemplu de metrică care nu este generată de normă .
Distanța de editare a graficului definește funcția de distanță dintre grafice .

Distanța de Hamming în teoria codificării.
Valorile inline , cum ar fi distanța Levenshtein și alte distanțe de editare a textului determină distanța deasupra liniilor .

Setul de submulțimi compacte ale oricărui spațiu metric poate fi transformat într-un spațiu metric prin definirea distanței folosind așa-numita metrică Hausdorff . În această metrică, două submulțimi sunt apropiate una de cealaltă dacă pentru orice punct dintr-o mulțime este posibil să se găsească un punct apropiat în celălalt submulțime. Iată definiția exactă: $K(M)$ $M$

D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrice}\forall x\in X\;\există y\in Y\colon d(x, y)<r\\\forall y\in Y\;\existe x\in X\colon d(x,y)<r\end{matrice}}\right.\right\}

Mulțimea tuturor spațiilor metrice compacte (până la izometrie ) poate fi transformată într-un spațiu metric prin definirea distanței folosind așa-numita metrică Gromov-Hausdorff .
Metrica Waserstein definește distanța dintre două distribuții de probabilitate .

Construcții

Produsul cartezian al spațiilor metrice poate fi dotat cu structura unui spațiu metric în multe feluri, de exemplu:
1. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2} )+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1}, x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1}, x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Aceste valori sunt echivalente între ele.

Proprietăți

Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este posibil să se aleagă o subsecvență convergentă din orice succesiune de puncte (compacitate secvențială).
Un spațiu metric poate să nu aibă o bază numărabilă , dar întotdeauna satisface prima axiomă a numărabilității - are o bază numărabilă în fiecare punct.
- În plus, fiecare set compact dintr-un spațiu metric are o bază numărabilă de vecinătate.
- Mai mult decât atât, în fiecare spațiu metric există o astfel de bază încât fiecare punct al spațiului aparține doar unui set numărabil al elementelor sale - o bază numărabilă punctual (dar această proprietate este mai slabă decât metrizabilitatea chiar și în prezența paracompacității și Hausdorffness ).
spațiile metrice cu mapări scurte formează o categorie , de obicei denumită Met .

Variații și generalizări

Pentru o mulțime dată , o funcție se numește pseudometrică sau semimetrică dacă pentru oricare dintre punctele ei îndeplinește următoarele condiții: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $M$ $x,\;y,\;z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ ( simetrie );
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( inegalitatea triunghiului ).

Adică, spre deosebire de metrică, diferite puncte în pot fi la distanță zero. Pseudometricul definește în mod natural o metrică pe spațiul coeficientului , unde .

M

M/{\sim }

x\sim y\iff d(x,y)=0

Pentru o mulțime dată , o funcție se numește cvasimetrică dacă pentru orice puncte , , din ea îndeplinește următoarele condiții: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $X$ $y$ $z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( cvasisimetrie );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (inegalitatea triunghiulară generalizată).
O metrică dintr-un spațiu se numește ultrametrică dacă satisface inegalitatea triunghiulară puternică : Pentru toți , și în . $X$ $y$ $z$ $M$ $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

Uneori este convenabil să luați în considerare -metrics , adică metrici cu valori . Pentru orice -metrică, se poate construi o metrică finită care definește aceeași topologie. De exemplu, $\infty$ $[0;\infty ]$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y))}$ sau $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

De asemenea, pentru orice punct dintr -un astfel de spațiu, mulțimea de puncte situate la o distanță finită de acesta formează un spațiu metric obișnuit, numit componenta metrică . În special, orice spațiu cu -metric poate fi considerat ca un set de spații metrice obișnuite, iar distanța dintre orice pereche de puncte din spații diferite poate fi definită ca .

X

X

\infty

\infty

Uneori , o cvasimetrică este definită ca o funcție care satisface toate axiomele pentru o metrică, cu posibila excepție a simetriei [3] [4] . Numele acestei generalizări nu este destul de stabilit [5] . Smith [4] le numește „semimetrics” în cartea sa. Același termen este adesea folosit și pentru alte două generalizări ale valorilor.
1. $d(x,y)\geqslant 0$ ( positivitate )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( certitudine pozitivă )
3. d ( x , y )= d ( y , x )( simetria tăiată)
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( inegalitatea triunghiului )

Exemple de cvasimetrici sunt întâlnite în viața reală. De exemplu, având în vedere un set de sate de munte, timpul de mers între elemente formează o cvasimetrică, deoarece urcarea durează mai mult decât coborârea. Un alt exemplu este topologia blocurilor care au străzi cu sens unic, unde calea de la un punct la altul constă dintr-un set diferit de străzi în comparație cu calea de la la .

X

X

A

B

B

A

În metametrie , toate axiomele metricii sunt valabile, cu excepția faptului că distanța dintre puncte identice nu este neapărat zero. Cu alte cuvinte, axiomele pentru metametrie sunt:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. rezultă din (dar nu invers.) $d(x,y)=0$ $x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Metametria apar în studiul spațiilor metrice hiperbolice Gromov și al limitelor acestora. Metametricul vizual pe un astfel de spațiu satisface egalitatea punctelor de pe graniță, dar în rest este aproximativ egală cu distanța de la graniță. Metametrica a fost definită pentru prima dată de Jussi Väisälä [6] .

d(x,x)=0

X

d(x,x)

X

Slăbirea ultimelor trei axiome conduce la conceptul de premetrică , adică o funcție care îndeplinește condițiile:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,x)=0$

Termenul nu s-a stabilit, uneori este folosit pentru a generaliza alte metrici, precum pseudo-semimetrics [7] sau pseudometrics [8] . În literatura în limba rusă (și în traducerile din rusă), acest termen apare uneori ca „prametric” [9] [10] . Orice premetrică duce la o topologie în felul următor. Pentru un real pozitiv , o bilă centrată într-un punct este definită ca

r

r

p

B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}

. Un set este numit deschis dacă pentru orice punct al setului există o bilă centrată pe care este conținută în set. Orice spațiu premetric este un spațiu topologic și, de fapt, un spațiu secvenţial . În general, bilele în sine nu trebuie să fie seturi deschise conform acestei topologii. În ceea ce privește metrica, distanța dintre două seturi și este definită ca

p

r

p

r

A

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Aceasta definește o premetrică pe booleanul spațiului premetric. Dacă începem cu un spațiu (pseudo-semi-)metric, obținem o pseudo-semimetrică, adică o premetrică simetrică. Orice premetric conduce la operatorul de preînchidere :

\operatorname {cl}

\operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\)

Pseudo- , cvasi- și semi - prefixele pot fi combinate, de exemplu, pseudo- cvasimetricul (uneori numit hemimetric ) slăbește atât axioma de indistinguire, cât și axioma de simetrie și este pur și simplu o premetrică care satisface inegalitatea triunghiului. Pentru spațiile pseudocvazimetrice, bile deschise formează o bază de seturi deschise. Cel mai simplu exemplu de spațiu pseudocvasimetric este o mulțime cu o premetrică dată de o funcție astfel încât și . Spațiul topologic asociat este spațiul Sierpinski . $r$ $\{0,1\}$ $d$ $d(0,1)=1$ $d(1,0)=0$

Seturile echipate cu pseudocvazimetrice extinse au fost studiate de William Lover ca „spatii metrice generalizate” [11] [12] . Din punct de vedere categoric , spațiile pseudometrice extinse și spațiile pseudocvazimetrice extinse, împreună cu mapările lor neexpandibile corespunzătoare , se comportă cel mai bine pe categorii de spații metrice. Se pot lua produse și coproduse arbitrare și se pot forma un obiect coeficient cu o categorie dată. Dacă omitem cuvântul „extins”, putem lua doar produse finite și coproduse. Dacă „pseudo” este omis, obiectele factor nu pot fi obținute. Spațiile de abordare sunt o generalizare a spațiilor metrice care iau în considerare aceste proprietăți categoriale bune.

Un spațiu liniar se numește spațiu metric liniar dacă distanța dintre elementele sale este dată în el și operațiile algebrice sunt continue în metrica sa, adică [2] : $V(F)$
1. $x_{n}\la x,y_{n}\la y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\la x+y$
2. $x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$
- Exemplu: spațiul liniar al tuturor secvențelor complexe poate fi convertit într-un spațiu metric liniar prin introducerea distanței dintre elementele sale folosind formula: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i)}}{\frac {|x_{i}-y_{i }|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

Un spațiu hipermetric este un spațiu metric în care sunt valabile inegalitățile hipermetrice. Acesta este, $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

pentru orice puncte și numere întregi astfel încât . [13]

x_1,\dots,x_n

b_{1},\dots,b_{n)

\sum b_{i}=1

Rețineți că pentru și , inegalitatea hipermetrică devine inegalitatea triunghiulară obișnuită $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Un exemplu de spațiu hipermetric: -spațiu . $\ell _{1}$

Istorie

Maurice Fréchet a introdus pentru prima dată conceptul de spațiu metric [14] în legătură cu luarea în considerare a spațiilor funcționale.

Note

↑ Kudryavtsev L. D. Analiză matematică. II vol. - M., Şcoala Superioară , 1970. - p. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Analiză funcțională. - M., Nauka , 1972. - p. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , p. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , p. 187–231.
↑ Buldygin, Kozachenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , p. treizeci.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , p. 1–37.
↑ Vickers, 2005 , p. 328–356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1906. - 22. - pp. 1-74.

Literatură

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Un curs de geometrie metrică. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasiliev N. Spații metrice . — Cuantică . - 1990. - Nr. 1.
Vasiliev N. Spații metrice . — Cuantică . - 1970. - Nr. 10.
Skvortsov V. A. Exemple de spații metrice // Biblioteca de educație matematică Arhivată 12 ianuarie 2014 la Wayback Machine . - 2001. - Numărul 9.
Schreider Yu. A. Ce este distanța? // „ Prelegeri populare de matematică ”. - M . : Fizmatgiz, 1963 - Numărul 38. - 76 p.
Lawvere, F. William (2002), Spații metrice, logică generalizată și categorii închise , Reprints in Theory and Applications of Categories (nr. 1): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articles/1/tr1.pdf > ; retipărit cu comentarii adăugate din Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic, and closed categories , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF02924844
Ruben Aldrovandi, JG Pereira. O introducere în fizica geometrică ] . - Singapore : World Scientific, 1995. - 699 p. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Analiza funcțională și teoria controlului: sisteme liniare , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: reconciliing domains with metric spaces , în Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., a 3-a Conferință privind fundamentele matematice ale semanticii limbajului de programare , voi. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, p. 236–253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur și Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Contraexemple în topologie , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces , Expositiones Mathematicae vol. 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~jvaisala/ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Completarea locală a spațiilor metrice generalizate, I , Teoria și aplicațiile categoriilor vol. 14 (15): 328–356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Arhivat 26 aprilie 2021 la Wayback Machine
Arkhangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. Rezultatele științei și tehnologiei. Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. Volumul 17. - VINITI , 1988. - 232 p.
Buldygin VV, Kozachenko Yu. V. Caracteristicile metrice ale variabilelor și proceselor aleatoare. - K. : TViMS, 1998. - 290 p.
Helemsky A. Ya. Prelegeri despre analiza funcțională . - Moscova: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Rusă)

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Spațiu metric , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Departe și aproape - câteva exemple de funcții de distanță la cut-the-knot .