Programul Erlangen

Programul Erlangen este un discurs al matematicianului german Felix Klein , în vârstă de 23 de ani, de la Universitatea din Erlangen (octombrie 1872 ), în care a propus o abordare algebrică generală a diferitelor teorii geometrice și a conturat o cale promițătoare pentru dezvoltarea lor. Raportul era legat de procedura de confirmare a lui Klein ca profesor și a fost publicat în același an. Prima traducere în limba rusă a apărut în 1895 .

În original, raportul lui Klein se numea „Revizuire comparativă a ultimelor cercetări geometrice” ( germană:  Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen ) [1] , dar a intrat în istoria științei sub denumirea scurtă de „ Program Erlangen ”. Influența acestui program asupra dezvoltării ulterioare a geometriei a fost excepțional de mare. Descoperirea lui Descartes s-a repetat la un nou nivel : algebrizarea geometriei a făcut posibilă obținerea unor rezultate profunde, care erau extrem de dificile sau complet de neatins pentru instrumentele vechi.

Rezumat

Până la mijlocul secolului al XIX-lea, geometria a fost împărțită în mai multe secțiuni diferite: euclidiană , sferică , hiperbolică , proiectivă , afină , conformală , riemanniană , multidimensională, complexă etc. La începutul secolului, după raportul lui Klein, pseudo-euclidiană li s-au adăugat geometria și topologia .

Klein a venit cu ideea unei clasificări algebrice a diferitelor ramuri ale geometriei în conformitate cu acele clase de transformări care nu sunt esențiale pentru această geometrie. Mai exact, o secțiune de geometrie diferă de alta prin aceea că corespund unor grupuri diferite de transformări spațiale, iar obiectele de studiu sunt invarianții unor astfel de transformări [2] .

De exemplu, geometria euclidiană clasică studiază proprietățile figurilor și corpurilor care se păstrează în timpul mișcărilor fără deformare; corespunde unui grup care conține rotații , translații și combinațiile acestora. Geometria proiectivă poate studia secțiunile conice , dar nu se ocupă de cercuri sau unghiuri, deoarece cercurile și unghiurile nu sunt păstrate în cadrul transformărilor proiective . Topologia studiază invarianții transformărilor continue arbitrare (Klein a remarcat acest lucru chiar înainte de a se naște topologia). Studiind proprietățile algebrice ale grupurilor de transformare, putem descoperi noi proprietăți profunde ale geometriei corespunzătoare și, de asemenea, le putem demonstra mai ușor pe cele vechi. Abordarea lui Klein a unificat diferitele geometrii și metodele lor și a clarificat diferențele dintre acestea. În afara acestei scheme, a rămas doar geometria riemanniană ; pentru a-l include în sistemul general, a fost necesar în anii 1920 să se generalizeze semnificativ abordarea lui Klein [3] .

Un exemplu de dovadă simplă că medianele oricărui triunghi se intersectează într-un punct. Mediana este un invariant afin ; dacă într-un triunghi echilateral medianele se intersectează într-un punct, atunci în oricare altul va fi adevărat, deoarece orice triunghi poate fi transformat într-un triunghi echilateral și invers printr -o transformare afină .

După prima algebrizare a geometriei de către Descartes , adică în geometria analitică , a existat un singur inconvenient: de multe ori era necesar să se dovedească separat natura geometrică a rezultatelor, adică independența lor față de sistemul de coordonate. Un avantaj suplimentar al abordării lui Klein a fost că invarianții rezultați, prin însuși sensul definiției lor, nu depind de sistemul de coordonate.

Aplicații

Pe baza ideilor prezentate, Klein a arătat în raportul său că geometria Lobachevsky este un spațiu de curbură negativă constantă și a atras atenția asupra conexiunii dintre modelul proiectiv propus de Beltrami și grupul proiectiv.

Abordarea lui Klein s-a dovedit a fi aplicabilă celor mai abstracte geometrii - multidimensionale, non-euclidiene , non-Arhimedei etc. La începutul secolului al XX-lea, Isai Schur , Emmy Noether , Eli Cartan și alți matematicieni au dezvoltat o teorie generală a grupului. reprezentări şi teoria invariante . Aceste studii nu numai că au îmbogățit semnificativ geometria, dar s-au dovedit a fi utile pentru fizică. Hermann Minkowski a inclus în 1905 teoria relativității în schema lui Klein , arătând că din punct de vedere matematic este teoria invarianților grupului Poincaré , care acționează în spațiu-timp cu patru dimensiuni . O abordare similară a fost necesară în teoria particulelor elementare , teoria cuantică și alte teorii fizice [4] .

Text în traducere rusă

• Klein F. Revizuire comparativă a ultimelor cercetări geometrice („Programul Erlangen”) // Pe fundamentele geometriei. Culegere de lucrări clasice despre geometria lui Lobaciovski și dezvoltarea ideilor sale, Moscova: GITTL, 1956, p. 399-434.

Literatură

• Erlangen_program în TSB .
• Vizgin V.P. Despre istoria „programului Erlangen” de F. Klein // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1973. - Nr. 18 . - S. 218-248 .
  • Versiune actualizată: programul și fizica Vizgin V.P. Erlangen. M.: Nauka, 1975. 111 p.
• Klein F. Matematică elementară din punctul de vedere al superioară, trad. din germană, ed. a II-a, vol. 2, M.  - L .: Stat. teh.-teor. Editura, 1934.
• Prasolov V. V. , Tikhomirov V. M. Geometrie. M.: MTSNMO , 1997, 352 p.

Link -uri

• Rozov N.Kh. Felix Klein și programul său Erlangen.
• Programul Smirnov S. G. Erlangen: înainte și acum Copie de arhivă din 28 decembrie 2010 la Wayback Machine (la aniversarea a 125 de ani de la programul Klein). Note științifice ale Institutului de Informatizare a Educației (IIO RAO), Nr. 2, 1998.

Note

1. ↑ Programul Erlangen în germană .
2. ↑ Fundamentele teoriei grupurilor au fost deja create de Evariste Galois și Camille Jordan .
3. ↑ Vizgin V.P., 1973 , p. 223.
4. ↑ Vizgin V.P., 1973 , p. 218, 245-246.

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	mare danez Britannica (online)