Grupul Galois absolut

Grupul Galois absolut al câmpului este grupul Galois peste , unde este închiderea separabilă a . De asemenea, definit ca grupul tuturor automorfismelor închiderii algebrice a unui câmp care este lăsat nemișcat. Grupul Galois absolut este unic până la izomorfism. Este un grup proterminal . $G_K$ $K$ $K^{sept.}$ $K$ $K^{sept.}$ $K$ $K$ $K$

(Dacă este un câmp perfect , coincide cu închiderea algebrică a câmpului . De exemplu, acest lucru este valabil pentru câmpurile cu caracteristica 0 și câmpurile finite .) $K$ $K^{sept.}$ $K^{alg}$ $K$

Exemple

Grupul Galois absolut al unui câmp închis algebric este trivial.
Grupul absolut Galois de numere reale este un grup ciclic format din două elemente (conjugare complexă și mapare de identitate), deoarece este o închidere separabilă și . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$
Grupul Galois absolut al unui câmp finit este izomorf cu grupul Aici este limita proiectivă a lui . $K$ $\hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$ $\varprojlim$

Automorfismul Frobenius este generatorul canonic (topologic) ( , unde este numărul de elemente în ).

pr

G_K

Fr(x) = x^q

q

K

Grupul Galois absolut al câmpului funcțiilor raționale cu coeficienți complecși este un grup profinit liber [1] .
Mai general, fie un câmp închis algebric și o variabilă. Atunci grupul Galois absolut al unui câmp este un grup liber de rang egal cu cardinalitatea [2] [3] [4] . $C$ $X$ $K = C(x)$ $C$
Fie o extensie finită a numerelor p-adice . Pentru , grupul său absolut Galois este generat de elemente și are o descriere explicită în termeni de generatori și relații. $K$ $Q_p$ $p \neq 2$ $[K:Q_p]+3$
Grupul Galois absolut este definit pentru cel mai mare subcâmp pur real al câmpului numerelor algebrice.

Probleme deschise

O descriere explicită a grupului absolut Galois de numere raționale este necunoscută . În acest caz, din teorema lui Belyi rezultă că grupul Galois absolut are o acțiune eficientă asupra dessins d'enfants a lui Grothendieck , ceea ce face posibilă vizualizarea teoriei Galois a câmpurilor numerice algebrice .
Conjectura lui Shafarevich afirmă că grupul Galois absolut al unei extensii abeliene maxime a numerelor raționale este un grup profinit liber.

Note

↑ Adrien Douady. Determination d'un groupe de Galois (franceză) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. - 1964. - Vol. 258. - P. 5305-5308. , MR : 0162796
↑ David Harbater. Grupuri fundamentale și probleme de încorporare în caracteristica p (engleză) // American Mathematical Society . - 1995. - Vol. 186.—P. 353–369.
↑ Dan Haran, Moshe Jarden. Grupul Galois absolut al lui C ( x ) // Pacific Journal of Mathematics: jurnal. - 2000. - Vol. 196 , nr. 2 . - P. 445-459. doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445 .
↑ Florian Pop. Étale Galois acoperă curbe fine afine. Cazul geometric al unei conjecturi a lui Shafarevici. Despre conjectura lui Abhyankar (engleză) // Inventiones Mathematicae . - 1995. - Vol. 120, nr. 3 . - P. 555-578. - doi : 10.1007/bf01241142 .