Endomorfismul Frobenius

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 mai 2021; verificarea necesită 1 editare .

Endomorfismul Frobenius este un endomorfism al unui inel comutativ de caracteristică primă , dat de formula . În unele cazuri, cum ar fi cazul unui câmp finit , un endomorfism Frobenius este un automorfism , cu toate acestea, în general, acesta nu este cazul. $p$ $x\mapsto x^{p}$

Definiție și proprietăți de bază

Fie un inel comutativ de caracteristică primă (în special, orice inel integral de caracteristică diferită de zero este astfel). Endomorfismul Frobenius al unui inel este definit prin formula . Endomorfismul Frobenius este într-adevăr un homomorfism inel , deoarece (pentru a demonstra ultima identitate, este suficient să scrieți partea stângă conform formulei binomiale a lui Newton și să rețineți că toți coeficienții binomi, cu excepția primului și ultimului, sunt divizibili cu ). $R$ $p$ $R$ $F(x)=x^{p}$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ $p$

Dacă este un homomorfism arbitrar al inelelor cu caracteristica primă , atunci , adică: . $\varphi :R\la S$ $p$ $\varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p)$ $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$

Aceasta înseamnă că endomorfismul Frobenius este o transformare naturală a functorului de identitate (pe categoria inelelor comutative ale caracteristicii ) în sine. $p$

Dacă inelul nu conține nilpotenți non-triviali , atunci endomorfismul Frobenius este injectiv (deoarece nucleul său este zero). Este ușor de demonstrat că și invers este adevărat: dacă este un nilpotent netrivial care dispare începând de la gradul , atunci . Un endomorfism Frobenius nu este neapărat surjectiv , chiar dacă este un câmp. De exemplu, să fie câmpul funcțiilor raționale cu coeficienți în , atunci funcția nu se află în imaginea endomorfismului Frobenius. $R$ $X$ $n$ $(x^{{n-1}})^{p}=0$ $R$ $R={\mathbb F}_{p}(t)$ $\mathbb {F} _{p}$ $t$

Un câmp se numește perfect dacă caracteristica sa este zero, sau caracteristica este pozitivă și endomorfismul Frobenius este surjectiv (deci este un automorfism). În special, toate câmpurile finite sunt perfecte. $K$

Puncte fixe

Luați în considerare un câmp finit . Conform micii teoreme a lui Fermat , toate elementele acestui câmp satisfac ecuația . O ecuație de gradul al treilea nu poate avea mai multe rădăcini, prin urmare, în orice extindere a câmpului, punctele fixe ale endomorfismului Frobenius sunt exact elementele câmpului . O afirmație similară este valabilă pentru inelele integrale de caracteristică . $\mathbb {F} _{p}$ $x^{p}=x$ $p$ $p$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $p$

De asemenea, gradele de endomorfism Frobenius satisfac proprietăți similare. Dacă este un câmp finit, toate elementele sale satisfac ecuația , iar în orice extensie a acestui câmp, elementele câmpului inițial sunt puncte fixe de gradul al treilea al endomorfismului Frobenius, adică puncte fixe ale . ${\mathbb F}_{{p^{k))}$ $x^{{p^{k}}}=x$ $k$ $x\mapsto x^{{p^{k}}}$

Element generator al grupului Galois

Grupul Galois al unei extensii finite a unui câmp finit este ciclic și este generat de gradul de endomorfism Frobenius. Luați în considerare mai întâi cazul când câmpul de sol este simplu . Fie un câmp finit, unde . Un endomorfism Frobenius păstrează elementele primului câmp , deci este un element al grupului Galois al extensiei . Rezultă că acest grup este ciclic și este generat de . Ordinea acestui grup este , deoarece endomorfismul acţionează identic, iar puterile mai mici nu pot acţiona identic. $\mathbb {F} _{q}$ $q=p^{n}$ $F$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p)$ $F$ $n$ $x\mapsto x^{q)$ $\mathbb {F} _{q}$

În extensie, câmpul de sol este fixat de gradul al-lea al endomorfismului Frobenius, grupul Galois al extensiei este generat și are ordinul . $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ $n$ $F^{n}$ $k$

Endomorfismul Frobenius

Definiție și proprietăți de bază

Puncte fixe

Element generator al grupului Galois

Endomorfismul Frobenius pentru scheme

Vezi și

Literatură