Funcția automorfă

O funcție automorfă este o funcție care este analitică într-un anumit domeniu și satisface relația din acest domeniu , unde  este un element al unui subgrup numărabil al grupului de transformări liniar-fracționale ale planului complex.

Istorie

Clasa funcțiilor automorfe, care generalizează clasa funcțiilor eliptice , a fost introdusă și studiată de matematicianul francez Henri Poincaré în anii 1880.

De-a lungul secolului al XIX-lea, practic toți matematicienii importanți din Europa au participat la dezvoltarea teoriei funcțiilor eliptice, care s-a dovedit a fi extrem de utilă în rezolvarea ecuațiilor diferențiale . Cu toate acestea, aceste funcții nu prea justificau speranțele puse asupra lor și mulți matematicieni au început să se gândească dacă este posibil să extindă clasa funcțiilor eliptice, astfel încât noile funcții să fie aplicabile acelor ecuații în care funcțiile eliptice sunt inutile.

Poincaré a găsit pentru prima dată această idee într-un articol al lui Lazar Fuchs , cel mai proeminent specialist în acei ani pe ecuații diferențiale liniare ( 1880 ). De-a lungul mai multor ani, Poincaré a dezvoltat mult ideea lui Fuchs, creând teoria unei noi clase de funcții, pe care el, cu indiferența obișnuită față de întrebările de prioritate pentru Poincaré, și-a propus să o numească funcții fuchsiane ( în franceză  les fonctions fuchsiennes ) - deși avea toate motivele să dea acestei clase propriul nume. Cazul s-a încheiat cu faptul că Felix Klein a propus denumirea de „funcții automorfe”, care a fost fixată în știință [1] . Poincaré a dedus extinderea acestor funcții în serii și a demonstrat teorema adunării. Aceste descoperiri „pot fi considerate pe bună dreptate punctul culminant al întregii dezvoltări a teoriei funcțiilor analitice a unei variabile complexe în secolul al XIX-lea” [2] .

În dezvoltarea teoriei funcțiilor automorfe, Poincaré a descoperit legătura lor cu geometria lui Lobachevsky , ceea ce i-a permis să prezinte multe întrebări despre teoria acestor funcții în limbaj geometric. A publicat un model vizual al geometriei lui Lobachevsky , cu care a ilustrat material despre teoria funcțiilor.

După lucrările lui Poincaré, funcțiile eliptice s-au transformat dintr-o direcție prioritară a științei într-un caz special limitat al unei teorii generale mai puternice. În secolul XX, rezultatele lui Poincare au fost extinse la cazul funcțiilor mai multor variabile (vezi, de exemplu, funcții modulare ). Au fost făcute încercări de generalizare în continuare a clasei de funcții automorfe (forme automorfe ).

Aplicație

Funcțiile automorfe sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale științelor exacte [3] . În special:

• Ele vă permit să rezolvați orice ecuație diferențială liniară cu coeficienți algebrici.
• Se demonstrează posibilitatea uniformizării curbelor algebrice , adică reprezentarea lor prin funcții automorfe. Aceasta este a 22-a problemă Hilbert , rezolvată de Poincaré în 1907 .
• Metodele acestei teorii sunt aplicate eficient în geometria algebrică , teoria grupurilor algebrice, teoria varietăților și chiar în teoria numerelor .

Literatură

• Golubev VV Funcții analitice cu o singură valoare. Funcții automorfe . Moscova: Fizmatlit, 1961.
• Klein F. Prelegeri despre dezvoltarea matematicii în secolul al XIX-lea . Volumul I, capitolul 8. M.-L.: GONTI, 1937. 432 p.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea, în trei volume. - M .: Nauka, 1978-1987. - T. 2.
• Poincare A. Lucrări alese, în trei volume. Volumul 3. M .: Nauka, 1971-1974.
• Ford L. P., Funcții automorfe, trad. din engleză, M.-L., 1936;
• Shimura G. Introducere în teoria aritmetică a funcţiilor automorfe. M.: Mir, 1973.
• Golubev VV Prelegeri despre teoria analitică a ecuațiilor diferențiale. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 p.

Link -uri

• Silvestrov VV Funcții automorfe - o generalizare a funcțiilor periodice  // Soros Educational Journal. - 2000. - Nr. 3 . - S. 124-127 .

Note

1. ↑ Poincare A. Lucrări alese în trei volume, Decret. op. - T. 3. - S. 690-695.
2. ↑ Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Decret. op. - T. 2. - S. 247.
3. ↑ Silvestrov V. V. Funcții automorfe - o generalizare a funcțiilor periodice  // Soros Educational Journal. - 2000. - Nr. 3 . - S. 124-127 .