Reflecție Andreevsky

Reflexia Andreev - procesul de reflexie a unui electron care cade dintr-un metal normal la interfața cu un supraconductor , în care electronul se transformă într-o gaură , schimbă ambele componente ale vitezei în altele opuse (în timpul retroreflexiei) și doi electroni intră în supraconductor. (perechea Cooper). Numit după Alexander Fedorovich Andreev , care a prezis teoretic acest tip de reflecție în 1964 [1] . În același timp, există o reflexie Andreev în oglindă , în care gaura nu modifică proiecția vitezei pe limită. Acest efect a fost prezis de Beenacker în 2006.

Esența fenomenului

Starea fundamentală a electronilor dintr-un metal normal la o temperatură care se apropie de zero absolut este stări pline cu energii mai mici decât energia Fermi și stări goale cu energii peste energia Fermi. Excitațiile elementare - electroni și găuri - pot avea o energie arbitrar mică. Pe de altă parte, spectrul de excitație dintr-un supraconductor are o bandă de energii interzise , care se numește decalajul supraconductor total . Prin urmare, pătrunderea într-un supraconductor dintr-un metal normal a unui electron sau a unei gauri a cărei energie, numărată de la nivelul Fermi , se află sub decalajul ( ), și se află, de asemenea, în intervalul decalajului până la , este imposibilă [2] . Dacă se aplică o tensiune unui contact normal metal-superconductor astfel încât , curentul electric prin contact datorat transferului direct de electroni va fi determinat numai de purtătorii activați termic deasupra intervalului și va fi exponențial mic. $2\Delta$ $E_F$ $\varepsilon <E_{F}-\Delta$ $\varepsilon =E_{F}+\Delta$ $V$ $eV<\Delta$

În această situație, curentul este creat de procesul de reflecție Andreev. Un electron incident pe graniță poate fi reflectat de suprafața supraconductorului și poate deveni o gaură cu aceeași energie de excitație. Deoarece sarcina găurii este opusă sarcinii electronului, atunci în timpul reflexiei Andreev, conform legii conservării sarcinii, o sarcină egală cu dublul sarcinii electronului este transferată supraconductorului, formând acolo o pereche Cooper . [2] . Astfel, curentul prin contactul NS se dublează aproximativ, ceea ce este exprimat pe caracteristica curent-tensiune a contactului ca o secțiune liniară cu o pantă dublă la tensiuni joase . La , caracteristica curent-tensiune merge liniar de-a lungul legii ohmice. $|eV|<\Delta$ $|eV|>\Delta$

În cel mai simplu caz al unui metal izotrop fără câmp magnetic și structură magnetică și un supraconductor cu împerechere s, procesul decurge după cum urmează. Cu reflexia Andreev, energia de excitație este conservată, adică cvasiparticula trece de la ramura de electroni din spectrul de excitare la ramura de găuri cu aceeași energie. În acest caz, impulsul electronilor diferă oarecum de impulsul găurii, dar modificarea impulsului este neglijabilă în comparație cu impulsul Fermi în cazul metalelor în care energia Fermi este mare. Cu toate acestea, viteza de grup a unei găuri (unde și indică energia și impulsul cvasiparticulelor) este opusă vitezei de grup a unui electron [3] . Prin urmare, în spațiul de coordonate, gaura se mișcă de-a lungul traiectoriei electronului, dar în direcția opusă ( retroreflecție engleză ). Cu alte cuvinte, în timpul reflexiei Andreev, cvasiparticula inversează ambele componente ale vitezei (în reflexia obișnuită, doar componenta normală își schimbă semnul). Deoarece spinurile celor doi electroni dintr-o pereche Cooper sunt opuse, spinurile electronului și ale găurii sunt, de asemenea, opuse. ${\vec {v}}=\partial \varepsilon /\partial {\vec {p}}$ $\varepsilon$ ${\vec {p}}$

Descriere teoretică

Cele mai multe dintre metodele teoretice utilizate pentru a descrie reflexia Andreev se bazează pe metoda funcției lui Green . Deoarece descrierea bazată pe funcțiile lui Green este greoaie pentru supraconductori, se folosește aproximarea semiclasică - ecuațiile Eilenberger pentru sisteme pure și ecuațiile Usadel în cazul în care concentrația de impurități este suficient de mare [4] . Cu toate acestea, pentru majoritatea problemelor, este posibil să se simplifice și mai mult formalismul și să se utilizeze ecuațiile intuitive Bogolyubov-de Gennes , care sunt pur și simplu o generalizare a ecuației Schrödinger în cazul unui sistem care conține atât electroni, cât și găuri.

Teoria BTK [5] folosește ultima aproximare pentru a găsi caracteristicile curent-tensiune printr-un contact metal-superconductor. Teoria consideră o problemă unidimensională pentru materialele pure, în care vectorul de undă al particulei este un număr cuantic bun și are un parametru liber: înălțimea barierei la graniță. Ecuația Bogolyubov-de Gennes pentru un supraconductor este scrisă ca

{\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+G\delta (x)-\mu &\Delta \\\Delta ^{*} &\mu -{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-G\delta (x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{ pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

unde este constanta Planck redusă , m este masa electronului, k este vectorul de undă al particulei, μ este potențialul chimic , Δ =Δ 0 e iφ este decalajul supraconductor, φ este faza supraconductorului, u și v sunt funcțiile de undă electron și gaură , G δ( x) este o funcție delta cu amplitudine G . Valorile proprii ale energiei ε se găsesc din ecuația caracteristică $\hbar$

\varepsilon ^{2}=\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+\Delta ^{2}

Figura prezintă relațiile de dispersie pentru cazul unui metal și al unui supraconductor [6] .

Dintre cele două soluții ale acestei ecuații, este luată în considerare doar energia pozitivă. Atunci, pentru un metal, unde Δ = 0, există patru vectori de undă (pentru ε < μ) corespunzători soluțiilor plane pentru unde plane . Tabelul prezintă toate soluțiile ecuației. Pentru electroni se folosește indicele „e”, iar pentru găurile cu energie pozitivă, adică din banda de conducție , indicele „h”. În cazul unui supraconductor, când |Δ| > 0, trebuie distinse două cazuri. Când energia ε > |Δ|, atunci există soluții sub formă de unde plane. Al doilea caz corespunde condiției ε < |Δ|, când există soluții sub formă de unde amortizate corespunzătoare efectului binecunoscut al tunelului sub-barieră în mecanica cuantică.

Rezolvarea ecuației Bogolyubov-de Gennes

Parametru	Metal	Supraconductor ε > Δ 0	Supraconductor ε < Δ 0
Vectori de undă pentru electroni	$\hbar k_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +\varepsilon }}$	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m)} {\sqrt {\mu +i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Vectori ondulatori pentru găuri	$\hbar k_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)} {\sqrt {\mu -\varepsilon ))$	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu -{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)} {\sqrt {\mu -i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Funcții electronice de undă	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}\\0\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$
Funcții de undă ale găurii	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}0\\v_{0}\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$
Amplitudini electronice	$u_{0}=1$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$
Amplitudini ale găurilor	$v_{0}=1$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$

Acum, dacă folosim teoria standard pentru matricea de împrăștiere în cazul unidimensional, unde undele incidente, reflectate și transmise sunt scrise în forma de mai sus, atunci putem obține ecuații pentru coeficienții de reflexie și transmisie folosind condițiile pentru continuitatea functiei de unda la limita si conditia de salt pentru derivata la limita in cazul adaugarii unui potential delta de inaltime arbitrara. Pentru derivație, există și o condiție pentru viteza de grup , astfel încât curentul de probabilitate să fie transferat conform definiției undelor incidente, reflectate și transmise și este luată în considerare o singură undă incidentă pentru un electron, iar restul sunt împrăștiate. . Vitezele grupului diferă pentru metal v e/h și supraconductor w e/h

v_{e/h}={\frac {\hbar k_{e/h}}{m}}

w_{e/h}={\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{2}}}{\varepsilon }}v_{e/h}

Mai mult, se poate observa că într-un supraconductor viteza grupului se apropie de zero pe măsură ce energia se apropie de lățimea intervalului. În cazul reflexiei Andreev, când nivelul Fermi este mult mai mare decât energia particulelor și a decalajului, amplitudinile de împrăștiere (reflexie și transmisie) sunt scrise sub forma

r_{he}={\frac {u_{0}v_{0}}{u_{0}^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0} ^{2})}}e^{-i\phi }

r_{ee}={\frac {(Z^{2}-iZ)(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}{u_{0}^{2} +Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}

t_{ee}={\frac {(1-iZ)u_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0} ^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

t_{he}={\frac {iZv_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0}^{2}+ Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

unde este un parametru care determină transparența barierei. Probabilitățile corespunzătoare vor fi sub formă de pătrate de module de amplitudine. O barieră complet transparentă va duce la zero a procesului e → e , adică nu va exista nicio reflexie a electronului, în timp ce pentru procesul e → h se va obține următoarea expresie ε < Δ 0 $Z=Gm/\hbar ^{2}k_{F)$

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -i{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}

iar probabilitatea corespunzătoare va fi egală cu 1. La energii mari ε > Δ 0 , amplitudinea se va descrește odată cu creșterea energiei

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -{\textrm {arccosh}}{\ frac {\varepsilon }{\Delta _{0)))).

Conductivitate Andreev

Reflecția neobișnuită a lui Andreev

Limită metal normal - feromagnet

Supraconductor cu d-pairing

Grafen

Ecuația Bogolyubov-de Gennes pentru un supraconductor are forma [7]

{\begin{pmatrix}H-E_{F}&\Delta \\\Delta ^{*}&E_{F}-\Theta H\Theta ^{-1}\end{pmatrix}}{\begin {pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

unde H este hamiltonianul pentru o particulă, E F este nivelul Fermi , Δ este decalajul de energie sau parametrul de ordine , u și v sunt funcțiile de undă electron și gaură, Θ este operatorul de inversare a timpului, care este introdus prin această relație

\Theta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}C=\Theta ^{-1}

unde C este conjugarea complexă . Deci ε > 0 este energia pozitivă a cvasiparticulelor numărate de la nivelul Fermi. În cazul unei stări normale, ecuațiile pentru electroni și goluri sunt separate, iar soluțiile sunt independente și simetrice ca energie. Atunci când interacțiunea dintre componentele electronului și al găurilor este activată prin intermediul potențialului de pereche Δ, se formează stări legate de electroni și găuri. Fără o formă specifică a Hamiltonianului cu o particulă, ecuația Bogolyubov-de Gennes poate fi aplicată oricărei legi de dispersie. În cazul grafenului, cu relația sa liniară dintre energie și vectorul de undă, Hamiltonianul ia forma

H={\begin{pmatrix}H_{+}&0\\0&H_{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i\hbar v_{F}(\sigma _{x} \partial _{x}+\sigma _{y}\partial _{y})+U&0\\0&-i\hbar v_{F}(\sigma _{x}\partial _{x}-\sigma _ {y}\partial _{y})+U\end{pmatrix}}

σ x , σ y , σ z sunt matricele Pauli , acționând nu în spațiul spin, ci în spațiul subrețelelor, numit și pseudospin, v F este viteza Fermi, U este energia potențială, care este negativă în regiune sub supraconductor, | k | 2 = k x 2 + k y 2 este pătratul vectorului de undă. Înlocuind acest Hamiltonian în ecuația Bogolyubov-de Gennes, obținem un sistem de opt ecuații diferențiale cu funcții de undă , . Acest sistem se împarte în două sisteme a câte patru ecuații fiecare, ducând la ecuațiile Dirac–Bogolyubov–de Gennes cu relația de dispersie $u=(\Psi _{A+},\Psi _{B+},\Psi _{A-},\Psi _{B-})^{T)$ $v=(\Psi _{A-}^{*},-\Psi _{B-}^{*},\Psi _{A+}^{*},-\Psi _{B+}^ {*})^{T}$

\varepsilon ={\sqrt {|\Delta |^{2}+(E_{F}-U\pm \hbar v_{F}|{\textbf {k}}|)^{2}}}

La derivarea ecuației Bogolyubov-de Gennes, a fost luată în considerare aproximarea câmpului mediu, în care lungimea de coerență a supraconductorului este mult mai mare decât lungimea Fermi în supraconductor , dar raportul dintre aceste cantități pentru un supraconductor și un metal normal. nu are restricții și sunt posibile două cazuri limitative, când și . Aceste două cazuri sunt fundamental diferite: dacă energia electronului este , atunci la , se observă reflexia obișnuită Andreev, iar la , are loc o reflexie Andreev în oglindă, când gaura reflectată păstrează proiecția vitezei pe graniță. Pentru grafen, nu există nicio reflexie atunci când electronii sunt incidenti în mod normal pe interfața supraconductor-metal pentru orice diferență a nivelurilor Fermi din cauza conservării chiralității , spre deosebire de metalul normal, unde există reflexie. $\xi =\hbar v_{F}/|\Delta |\gg \lambda _{F}^{s)$ $\xi \gg \lambda _{F}^{n)$ $\xi \ll \lambda _{F}^{n)$ $\varepsilon <|\Delta |$ $E_{F}\gg |\Delta |$ $E_{F}\ll |\Delta |$

Supraconductor de contact - izolator cu transparență ridicată - supraconductor

Atunci când doi supraconductori sunt slab cuplati, cum ar fi într-o structură superconductor-izolator-superconductor (SIS), supracurent poate curge datorită efectului Josephson , care apare datorită diferenței de fază fixă a funcțiilor de undă ale purtătorilor de curent din cei doi supraconductori. peste stratul intermediar metalic normal [8] [9 ] . O astfel de structură a dispozitivului este cunoscută sub numele de joncțiune Josephson, iar cantitatea maximă de supracurent care curge prin joncțiune este definită ca curentul critic Josephson, I c . În cele mai pure joncțiuni metalice convenționale, produsul supracurentului și rezistenței în stare normală este o valoare constantă care este proporțională cu dimensiunea decalajului supraconductor BCS - 2Δ , adică unde I c este curentul critic Josephson și R n este rezistența metalului în stare normală ( formula Ambegaokara - Baratova ). Produsul I c R n nu depinde de geometria probei, deoarece aceiași parametri dependenți de geometrie se autodistrug în expresiile pentru I c și R n . Interesant este că un nou regim mezoscopic apare atunci când lățimea, w , a unui conductor normal se micșorează pentru a deveni comparabilă cu lungimea de undă Fermi , λ F , a purtătorilor de sarcină, iar conductanța sa în stare normală devine cuantificată în unități de e²/h, unde e este sarcina electronului , iar h este constanta lui Planck , slab în funcție de restricțiile impuse valorii lungimii canalului, care se datorează formării sub-benzilor unidimensionale [10] [11] . S-a prezis [12] că produsul universal I c R n =πΔ/2e joacă, de asemenea, un rol important în joncțiuni Josephson scurte cu moduri transversale discrete, unde fiecare dintre cele N moduri formează un nivel independent asociat cu reflexia Andreev și contribuie în mod egal. la supracurent total [13] . Astfel, I c =2πNeΔ/h, deși un astfel de regim nu a fost realizat experimental [14] [15] . În majoritatea studiilor anterioare ale structurilor sandwich SIS, metalele convenționale au fost folosite pentru a forma joncțiunile. În aceste tranziții, este dificil să se realizeze un regim în care w ~λ F , deoarece este de dorit să se realizeze o tranziție stabilă și controlată pe mai multe straturi atomice late [16] . Această limitare poate fi depășită atunci când se utilizează semiconductori datorită prezenței în ei a unei densități scăzute de purtători de sarcină și, în consecință, a unei lungimi de undă Fermi mare, deoarece λ F =2π/k F =(2π/p 2D ) 1/2 , unde k F este vectorul de undă Fermi și p 2D este concentrația bidimensională a găurilor din puț. $I_{c}R_{n}=\pi \Delta /2e$

Stările legate și efectul Josephson

Reflecția Sf. Andrei multiple

Interferometrie Andreevskaya

Note

↑ Andreev A. F. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - M. , 1964. - T. 46 . - S. 1823 .
↑ 1 2 Nazarov & Blanter, 2009 , p. 98.
↑ Nazarov & Blanter, 2009 , p. 98-99.
↑ A. V. Svidzinsky. Probleme neomogene spațial în teoria supraconductivității . - Nauka (Moscova), 1982. - S. 141 -157. — ISBN 9780521832465 .. (Rusă)
↑ G.E. Blonder, M. Tinkham și T.M. Klapwijk. Tranziția de la regimurile metalice la regimurile de tunel în microconstricțiile supraconductoare: curent în exces, dezechilibru de sarcină și conversie la supracurent // Phys . Rev. B. - 1982. - Vol. 25 . — P. 4515 . - doi : 10.1103/PhysRevB.25.4515 .
↑ Dolcini F. Andreev Reflecție // Note de curs pentru XXIII Zile de Licență de Fizică. — 2009. (link inaccesibil)
↑ Beenakker CWJ Specular Andreev reflection in graphene // Phys . Rev. Let.. - 2006. - Vol. 97 . — P. 067007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.067007 .
↑ Tinkham M. Introducere în supraconductivitate. — Dover New York, 1996.
↑ Likharev KK Verigi slabe supraconductoare // Rev. Mod. Phys.. - 1979. - T. 51 . - S. 101 .
^ Thornton TJ, Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis GJ . Rev. scrisori. - 1986. - T. 56 . - S. 1198 .
↑ van Wees BJ, van Houten H., Beenakker CWJ, Williamoson JG, Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon CWJ Conductanța cuantificată a punctului de contact în gazul electronului bidimensional // Fiz. Rev. scrisori. - 1988. - T. 60 . - S. 848 .
↑ Beenakker CWJ, van Houten H. Josephson curent printr-un punct de contact cuantic supraconductor mai scurt decât lungimea de coerență // Phys. Rev. scrisori. - 1991. - T. 66 . - S. 3056 .
↑ Klapwijk TM Efectul de proximitate dintr-o perspectivă Andreev // Journal of Superconductivity Incorporating Novel Magnetism. - 2004. - T. 17 . - S. 593 .
↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Observation of maximum supercurrent quantization in a superconducting quantum point-contact. — Fiz. Rev. Scrisori, 1995. - T. 75 . - S. 3533 .
↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov VM, Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Corelated quantization of supercurrent and conductance in a superconducting quantum point contact // Phys. Rev. B. - 2005. - T. 71 . - S. 174502 .
↑ Muller CJ, Vanruitenbeek JM, De Jongh LJ . Rev. scrisori. - 1992. - T. 69 . - S. 140 .

Literatură

Yuli V. Nazarov și Yaroslav M. Blanter. Transport cuantic: Introducere în nanoștiință . - Cambridge University Press (Cambridge), 2009. - P. 98-114 . — ISBN 9780521832465 .