Infinit de mic și infinit de mare

Infinit mic - o funcție numerică sau o secvență care tinde spre (a cărei limită este egală cu) zero .

Infinit de mare - o funcție numerică sau o secvență care tinde către (a cărei limită este) infinitatea unui anumit semn.

În analiza nestandard , infinitezimale și infinitezimale sunt definite nu ca secvențe sau variabile, ci ca un tip special de număr.

Calcul infinitezimalelor și marilor

Calcul infinitezimal - calcule efectuate cu mărimi infinitezimale, în care rezultatul derivat este considerat ca o sumă infinită de infinitezimale. Calculul infinitezimalelor este un concept general pentru calculul diferențial și integral , care formează baza matematicii superioare moderne . Conceptul de mărime infinitezimală este strâns legat de conceptul de limită.

Infinit de mic

O secvență se numește infinitezimal dacă . De exemplu, o succesiune de numere este infinit de mică. $un$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$

O funcție se numește infinitezimală într-o vecinătate a unui punct dacă . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

Se spune că o funcție este infinitezimală la infinit dacă fie . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=0$

De asemenea, infinit de mică este o funcție care este diferența dintre o funcție și limita ei, adică dacă , atunci , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alpha (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Subliniem că o valoare infinitezimală trebuie înțeleasă ca o valoare variabilă (funcție), care numai în procesul de schimbare a acesteia [când se străduiește să (de la )] devine mai mică decât un număr arbitrar ( ). Prin urmare, de exemplu, o afirmație precum „o milioneme este o valoare infinitezimală” nu este adevărată: nu are sens să spunem despre un număr [valoare absolută] că este infinit de mic. [unu] $X$ $A$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Infinit de mare

În toate formulele de mai jos, infinitul la dreapta egalității implică un anumit semn (fie „plus”, fie „minus”). Adică, de exemplu, o funcție care este nemărginită de ambele părți nu este infinit mare pentru . $x\sin x$ $x\la +\infty$

O secvență se numește infinit mare dacă . $un$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty$

Se spune că o funcție este infinit de mare într-o vecinătate a punctului dacă . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

Se spune că funcția este infinit de mare la infinit dacă fie . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

Ca și în cazul infinitezimalelor, trebuie remarcat că nicio valoare unică a unei cantități infinit de mare nu poate fi numită „infinit de mare” - o cantitate infinit de mare este o funcție care poate deveni mai mare decât un număr luat în mod arbitrar numai în procesul ei. schimbare .

Proprietăți ale infinitezimalelor

Suma algebrică a unui număr finit de funcții infinit de mici este o funcție infinit de mică.
Produsul infinitezimalelor este infinitezimal.
Produsul unei secvențe infinitezimale de unul mărginit este infinitezimal. În consecință, produsul unui infinitezimal cu o constantă este infinitezimal.
Dacă este o secvență infinitezimală care păstrează semnele, atunci este o secvență infinit de mare. $un$ $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$

Comparația infinitezimale

Definiții

Să presupunem că avem infinitezimal pentru aceeași valoare și (sau, ceea ce nu este important pentru definiție, secvențe infinitezimale). $x\la a$ $\alpha(x)$ $\beta(x)$

Dacă , atunci este un ordin infinitezimal mai mare de micime decât . Desemnează sau . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beta$ $\alfa$ $\beta =o(\alpha )$ $\beta\prec\alpha$
Dacă , atunci este un infinitezimal de ordin inferior al micii decât . În consecință sau . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beta$ $\alfa$ $\alpha =o(\beta )$ $\alpha\prec\beta$
Dacă (limita este finită și nu este egală cu 0), atunci și sunt cantități infinitezimale de același ordin de micime . Aceasta este desemnată ca sau ca execuție concomitentă a relațiilor și . Trebuie remarcat faptul că în unele surse se poate întâlni o denumire atunci când asemănarea ordinelor este scrisă sub forma unei singure relații „o mare”, care este o utilizare gratuită a acestui simbol. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha\asymp\beta$ $\beta =O(\alpha )$ $\alpha =O(\beta )$
Dacă (limita este finită și nu este egală cu 0), atunci o mărime infinitezimală are ordinul al treilea al micșorării față de un infinitezimal . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ $\beta$ $m$ $\alfa$

Pentru a calcula astfel de limite, este convenabil să folosiți regula lui L'Hospital .

Exemple de comparație

Căci , valoarea are cel mai înalt ordin de micime în raport cu , din moment ce . Pe de altă parte, are cel mai mic ordin de micime în raport cu , din moment ce . ${x\la 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

Folosind simbolurile O , rezultatele obținute pot fi scrise în următoarea formă .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 }{1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ adică pentru funcţii şi sunt mărimi infinitezimale de acelaşi ordin. $x\la 0$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

În acest caz, înregistrările și

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

La , o mărime infinitezimală are un al treilea ordin de micime față de , deoarece , infinitezimal este de ordinul doi, infinitezimal este de ordinul 0,5. ${x\la 0}$ $2x^{3}$ $X$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Valori echivalente

Definiție

Dacă , atunci cantități infinitezimale sau infinit de mari și sunt numite echivalente (notate ca ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha \thicksim \beta$

În mod evident, cantitățile echivalente sunt un caz special de cantități infinit de mici (infinit de mari) de același ordin de micime.

Pentru , sunt valabile următoarele relații de echivalență (ca o consecință a așa-numitelor limite remarcabile ): $\alpha (x){\xrightarrow[ {x\to x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , unde , ; $a>0$ $a\neq 1$
$\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , unde ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , deci folosiți expresia:

{\sqrt[ {n}]{1+\alpha (x)))\aprox {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, unde .

\alpha (x){\xrightarrow[ {x\to x_{0}}]{}}0

Teorema

Limita coeficientului (raportului) a două cantități infinitezimale sau infinit de mari nu se va modifica dacă una dintre ele (sau ambele) este înlocuită cu o valoare echivalentă .

Această teoremă este de importanță practică în găsirea limitelor (vezi exemplu).

Exemple de utilizare

Găsi $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Înlocuind cu echivalentul , obținem

\sin 2x

2x

\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

Găsi $\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

De când ajungem

\sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}

x\la {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{{ x\la {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Calculați . ${\sqrt {1{,}2}}$

Folosind formula :, în timp ce folosim un calculator (calcule mai precise), am obținut:, astfel eroarea a fost 0,005 (mai puțin de 1%), adică metoda este utilă, datorită simplității sale, cu o estimare aproximativă a aritmeticii. rădăcini aproape de una.

{\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095

Istorie

Conceptul de „infinit mic” a fost discutat în antichitate în legătură cu conceptul de atomi indivizibili, dar nu a intrat în matematica clasică. A fost reînviat odată cu apariția în secolul al XVI-lea a „metodei indivizibililor” – împărțirea figurii studiate în secțiuni infinitezimale.

Algebrizarea calculului infinitezimal a avut loc în secolul al XVII-lea. Au început să fie definite ca valori numerice care sunt mai mici decât orice valoare finită (pozitivă) și totuși nu egale cu zero. Arta analizei a constat în întocmirea unei relaţii care conţine infinitezimale ( diferenţiale ), apoi în integrarea acesteia .

Conceptul de infinitezimale a fost puternic criticat de matematicienii de la vechea școală . Michel Rolle a scris că noul calcul este „ un set de erori ingenioase ”; Voltaire a subliniat veninos că acest calcul este arta de a calcula și măsura cu precizie lucruri a căror existență nu poate fi dovedită. Chiar și Huygens a recunoscut că nu a înțeles sensul diferențialelor de ordin superior .

Disputele din Academia de Științe din Paris cu privire la problemele justificării analizei au devenit atât de scandaloase, încât Academia le-a interzis odată membrilor săi să vorbească pe această temă (aceasta îi privea în principal pe Rolle și Varignon). În 1706, Rolle și-a retras public obiecțiile, dar discuțiile au continuat.

În 1734, celebrul filozof englez, episcopul George Berkeley , a publicat un pamflet senzațional, cunoscut sub titlul prescurtat „The Analyst ”. Titlul său complet este: „ Analist sau raționament adresat unui matematician necredincios, unde se investighează dacă subiectul, principiile și concluziile analizei moderne sunt mai clar percepute sau deduse mai clar decât sacramentele religioase și articolele de credință ”. Analistul a conținut o critică plină de spirit și, în multe privințe, justă a calculului infinitezimal. Berkeley a considerat metoda de analiză ca fiind incompatibilă cu logica și a scris că „ oricât de utilă ar fi, ea nu poate fi considerată decât ca un fel de presupunere; dexteritate, artă sau mai degrabă subterfugiu, dar nu ca metodă de demonstrare științifică .” Citând fraza lui Newton despre creșterea cantităților curente „la începutul nașterii sau dispariției lor”, Berkeley ironic: „ acestea nu sunt nici cantități finite, nici infinitezimale, nici măcar nimic. Nu le-am putea numi fantome de mărimi moarte?.. Și cum se poate vorbi de o relație între lucruri care nu au magnitudine?.. Cel care poate digera al doilea sau al treilea flux [derivat], a doua sau a treia diferență, nu ar trebui , după cum mi se pare, să găsesc greșeli în orice teologie .

Este imposibil, scrie Berkeley, să ne imaginăm viteza instantanee, adică viteza la un moment dat și la un punct dat, deoarece conceptul de mișcare include concepte de spațiu și timp (finit non-zero).

Cum obține analiza rezultatelor corecte? Berkeley a ajuns la concluzia că acest lucru se datorează prezenței mai multor erori în concluziile analitice ale compensației reciproce și a ilustrat acest lucru cu exemplul unei parabole. În mod ironic, unii matematicieni importanți (cum ar fi Lagrange ) au fost de acord cu el.

A existat o situație paradoxală când rigoarea și rodnicia în matematică s-au amestecat între ele. În ciuda utilizării acțiunilor ilegale cu concepte prost definite, numărul erorilor directe a fost surprinzător de mic - intuiția a ajutat. Și totuși, de-a lungul secolului al XVIII-lea, analiza matematică s-a dezvoltat rapid, neavând în esență nicio justificare. Eficacitatea sa a fost uimitoare și a vorbit de la sine, dar sensul diferenţialului era încă neclar. Incrementul infinitezimal al unei funcții și partea ei liniară au fost în mod deosebit adesea confundate.

De-a lungul secolului al XVIII-lea, s-au făcut eforturi uriașe pentru a corecta situația și cei mai buni matematicieni ai secolului au participat la ele, dar numai Cauchy a reușit să construiască în mod convingător fundația analizei la începutul secolului al XIX-lea. El a definit cu strictețe conceptele de bază - limită, convergență, continuitate, diferențială etc., după care infinitezimalele propriu-zise au dispărut din știință. Unele subtilități rămase au fost explicate mai târziu de către Weierstrass . În prezent, termenul „infinit de mic” în matematică în marea majoritate a cazurilor nu este legat de numere, ci de funcții și secvențe .

Ca o ironie a sorții, se poate considera apariția la mijlocul secolului al XX-lea a analizei non-standard , care a dovedit că punctul de vedere original - infinitezimalii propriu-zis - este, de asemenea, consistent și ar putea sta la baza analizei. Odată cu apariția analizei non-standard, a devenit clar de ce matematicienii secolului al XVIII-lea, efectuând acțiuni ilegale din punctul de vedere al teoriei clasice, au primit totuși rezultate corecte.

Vezi și

Note

↑ Cantități infinit de mici și infinit de mari // Manual de matematică (pentru gimnaziu) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - ed. a III-a. — M.: Nauka, Ch. ediţia Phys.-Math. Literatură, 1983. - S. 337-340. — 480 s.

Literatură

Cantități infinit de mici și infinit de mari // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.