Formula Euler-Maclaurin

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 aprilie 2016; verificările necesită 7 modificări .

Formula de însumare Euler-Maclaurin este o formulă care permite exprimarea sumelor discrete ale valorilor funcției în termeni de integrale ale unei funcții. În special, multe expansiuni asimptotice ale sumelor sunt obținute tocmai în termenii acestei formule.

Formula a fost găsită independent de Leonhard Euler în 1732 și de Colin Maclaurin în jurul anului 1735 (și mai târziu a fost generalizată la formula lui Darboux). Euler a primit această formulă atunci când trebuia să calculeze o serie lent convergentă, iar Maclaurin a folosit-o pentru a calcula integralele.

Formula

Formula Euler-Maclaurin are forma:

\sum \limits _{a\leqslant k<b}f(k)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1 }^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{a}^{b}+R_{m},

Unde

R_{m}=(-1)^{m+1}\int \limits _{a}^{b}{\frac {B_{m}(\{x\})}{m!} }f^{(m)}(x)dx,

aici — naturale, — numere Bernoulli , — funcție suficient de netedă pentru a avea derivate , — polinomul Bernoulli , — parte fracțională a lui x . În cazul în care este mic, obținem o bună aproximare a sumei. $a\leqslant b,m$ $B_{k}$ $f(x)$ $f'(x),\ldots ,f^{(m)}(x)$ $B_{m}(t)$ $\{X\}$ $R_m$

Polinoamele Bernoulli sunt definite recursiv ca $B_{n}(x),n=0,1,2,\ldots$

B_{0}(x)=1,

B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\\int \limits _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0,n\in \ mathbb {N} .

Expresia se numește funcție periodică Bernoulli. $B_{n}(\{x\})=P_{n}(x)$

Restul

Termenul rămas R poate fi ușor exprimat în termeni de : $P_n(x)$

R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,

sau modalitatea echivalentă obținută prin integrarea pe părți, presupunând că este din nou diferențiabilă și amintindu-ne că numerele impare Bernoulli sunt egale cu zero: $f^{(2p))$

R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1) )!}}dx.

unde . Se poate arăta că $n \geqslant 0$

\left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n)}}\zeta (n),

unde denotă funcția zeta Riemann . Egalitatea este realizată pentru n și . Folosind această inegalitate, termenul rămas este estimat ca $\zeta$ $x=0$

\left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p))}\int \limits _{a}^{b}\left| f^{(2p)}(x)\right|dx

Dovada

Considerații ale operatorului

Înainte de demonstrație, este convenabil să luăm în considerare considerente de ordin superior (datorită lui Lagrange) de ce este valabilă o astfel de formulă. Fie un operator de diferență, să fie un operator de însumare , să fie un operator de diferențiere și să fie un operator de integrare. Atunci operatorul este invers , și este invers . Poate fi exprimat folosind formula Taylor: $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $D$

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{ 2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2} }{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),

acestea. și apoi , și de când , atunci $\Delta =e^{D}-1$ $\Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1)}$ ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!)} }$

\sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+ {\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!} }D^{k-1}.

Aplicând această relație de operator la , obținem formula dorită, dar fără termenul rămas. $f(x)$

Această concluzie este pur formală și nu se referă la chestiuni de convergență.

Dovada restului

Este suficient să demonstrăm formula pentru , deoarece putem împărți orice segment cu granițe întregi în segmente de lungime 1 și le putem muta în . Pentru , formula arată ca $a=0,b=1$ $[a;b]$ $[0;1]$ $a=0,b=1$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k} }{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0} ^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.

Demonstrarea se va realiza prin inductie pe m .

Baza. La . Integrarea pe părți , la , obținem: $m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2))$ $u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2))$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.

Etapa. Pasul de inducție este echivalent cu demonstrarea egalității , adică trebuie să dovediți asta $R_{m-1}=\left.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1} +R_{m}$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=m\int \limits _{0 }^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{( m)}(x)dx.

Din nou, formula de integrare pe părți este aplicabilă pentru : , deci formula este corectă datorită faptului că $u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)$ $B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=\left.B_{m}( x)f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1},

adică , și acest lucru este adevărat, deoarece pentru m impar avem . $(-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)$ $B_{m}=0,$

Aplicație

Suma puterilor

Să calculăm suma gradelor . Fie , atunci și , calculând integralele, obținem: $\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1)$ $f(x)=x^{m-1)$ $f^{(m)}(x)=0$ $R_{m}=0$

\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m)}\sum \limits _{k=0}^{m}{\ binom {m}{k}}B_{k}(b^{mk}-a^{mk}).

Suma pătrată inversă

Calculați suma

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1} ^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Euler a calculat această sumă la 20 de zecimale folosind un număr mic de termeni ai formulei Euler-Maclaurin în 1735. Acest lucru l-a convins probabil că această sumă este egală cu , ceea ce a demonstrat în același an. [1] [2] ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Integrare numerică

Formula Euler-Maclaurin poate fi folosită și pentru analiza detaliată a erorilor metodelor de integrare numerică. El explică performanța ridicată a metodei trapezoidale pe funcții periodice netede și este utilizat în anumite metode de extrapolare . Cuatratura Clenshaw–Curtis schimbă în esență variabilele prin exprimarea unei integrale arbitrare în termeni de integrale ale funcțiilor periodice, pentru care aproximarea Euler-Maclaurin este deosebit de precisă (în acest caz particular, formula Euler-Maclaurin este luată sub forma unui transformată cosinus discretă ). Această tehnică se numește transformare într-o funcție periodică.

O expresie asimptotică pentru suma

Pentru a calcula expresia asimptotică a unei sume sau a unei serii, se folosește de obicei următoarea formă a formulei Euler-Maclaurin:

\sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f (b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1) }(b)-f^{(2k-1)}(a)\dreapta),

unde a , b sunt numere întregi. Adesea formula rămâne valabilă chiar și atunci când limitele fiecăreia sunt extinse sau ambele. În multe cazuri, integrala din partea dreaptă poate fi calculată în formă închisă în termeni de funcții elementare , chiar dacă suma din partea stângă nu poate fi exprimată astfel. Atunci toți termenii seriei asimptotice pot fi exprimați în termeni de funcții elementare. De exemplu, $a\to -\infty$ $b\la +\infty$

\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^ {+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.

Aici partea stângă este , numită funcție poligamă de ordinul întâi , definită ca ; funcția gamma este , dacă z este natural. Rezultatul obţinut este o expansiune asimptotică a . Această expresie este folosită ca punct de plecare pentru obținerea unei estimări a erorii exacte a formulei factoriale a lui Stirling . $\psi ^{(1)}(z)$ $\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$ $\Gamma(z)$ $(z-1)!$ $\psi ^{(1)}(z)$

Aproximație pentru numere armonice

Presupunem , atunci și apoi obținem $f(x)=x^{-1)$ $f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$

\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _ {k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+ 2 )n^{2m+2}}},

unde . De aici se poate calcula constanta lui Euler relativ rapid . $0<\theta _{m,n}<1$ $\gamma$

Aproximația lui Stirling pentru factorial

Presupunem , atunci și apoi obținem $f(x)=\ln x$ $f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1)$

\sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2)}+\sum \limits _{k =1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2 }}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},

unde de fapt . Luând exponențialul din ambele părți, obținem formula Stirling . $\sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}$

Note

↑ David J. Pengelley, „Dans between continuous and discrete: Euler's summation formula” Arhivat 9 august 2017 la Wayback Machine , în: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002). ) , Societatea Euler, 2003.
↑ K. P. Kokhas. Suma pătratelor inverse // Matem. iluminismul .. - 2004. - Problema. 8 . — S. 142–163 .

Literatură

Graham R., Knut D. , Patashnik O. Concrete Mathematics. — M .: Mir, 1998. — 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Fikhtengol's GM Capitolul 12. § 6. Serii învăluitoare și asimptotice. Formula Euler-Maclaurin // Curs de calcul diferențial și integral. - Ed. a VII-a, stereotip. - M. : Nauka, 1969. - T. 2. - S. 531-551. — 800 s.