Funcția divizor

Funcția divizor este o funcție aritmetică asociată cu divizorii unui număr întreg . Funcția este cunoscută și sub denumirea de funcție de divizor . Este utilizat, în special, în studiul relației dintre funcția zeta Riemann și seria Eisenstein pentru forme modulare . Studiat de Ramanujan , care a derivat o serie de egalități importante în aritmetica modulară și identitățile aritmetice .

Strâns legată de această funcție este funcția de însumare a divizorului , care, după cum sugerează și numele, este suma funcției de divizor.

Definiție

Funcția „ suma divizorilor pozitivi ” σ x ( n ) pentru un număr real sau complex x este definită ca suma puterilor x -lea ale divizorilor pozitivi ai lui n . Funcția poate fi exprimată prin formula

\sigma _{{x}}(n)=\sum _{{d|n}}d^{x}\,\!,

unde înseamnă „ d împarte n ”. Notația d ( n ), ν( n ) și τ( n ) (din germanul Teiler = divizor) este folosită și pentru a desemna σ 0 ( n ), sau funcția numărului de divizori [1] [2] . Dacă x este 1, funcția se numește funcție sigma sau suma divizorilor [3] , iar indicele este adesea omis, astfel încât σ( n ) este echivalent cu σ 1 ( n ) [4] . ${d|n}$

Suma alicotă s(n) pentruneste sumapropriilordivizoriadicătoți divizorii, cu excepția lui .n) −n(1) și este egală cu σ[5]n

Exemple

De exemplu, σ 0 (12) este numărul de divizori ai numărului 12:

{\begin{aligned}\sigma _{{0}}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12 ^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aliniat}}

în timp ce σ 1 (12) este suma tuturor divizorilor:

{\begin{aligned}\sigma _{{1}}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12 ^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}

iar suma alicotă s(12) a divizorilor proprii este:

{\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3 +4+6=16.\end{aligned}}

Tabel de valori

n	Divizoare	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	s ( n ) = σ 1 ( n ) − n	Comentarii
unu	unu	unu	unu	0	pătrat: valoarea σ 0 ( n ) este impară; gradul 2: s( n ) = n − 1 (aproape perfect)
2	1.2	2	3	unu	prim: σ 1 (n) = 1+n, deci s(n) =1
3	1.3	2	patru	unu	prim: σ 1 (n) = 1+n, deci s(n) =1
patru	1,2,4	3	7	3	pătrat: σ 0 ( n ) impar; puterea 2: s ( n ) = n − 1 (aproape perfect)
5	1.5	2	6	unu	prim: σ 1 (n) = 1+n, deci s(n) =1
6	1,2,3,6	patru	12	6	primul număr perfect : s ( n ) = n
7	1.7	2	opt	unu	prim: σ 1 (n) = 1+n, deci s(n) =1
opt	1,2,4,8	patru	cincisprezece	7	puterea 2: s ( n ) = n − 1 (aproape perfect)
9	1,3,9	3	13	patru	pătrat: σ 0 ( n ) impar
zece	1,2,5,10	patru	optsprezece	opt
unsprezece	1.11	2	12	unu	prim: σ 1 (n) = 1+n, deci s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	primul număr redundant : s ( n ) > n
13	1.13	2	paisprezece	unu	prim: σ 1 (n) = 1+n, deci s(n) =1
paisprezece	1,2,7,14	patru	24	zece
cincisprezece	1,3,5,15	patru	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	cincisprezece	pătrat: σ 0 ( n ) impar; puterea 2: s ( n ) = n − 1 (aproape perfect)

Cazurile și așa mai departe vin în secvențele A001157 , A001158 , A001159 , A001160 , A013954 , A013955 ... $x=2$ $x=3$

Proprietăți

Pentru numerele întregi care nu sunt pătrate, fiecare divizor d al lui n are un divizor pereche n/d și, prin urmare, este întotdeauna par pentru astfel de numere. Pentru pătrate, un divizor, și anume , nu are o pereche, așa că este întotdeauna impar pentru ele. $\sigma _{{0}}(n)$ ${\sqrt n}$ $\sigma _{{0}}(n)$

Pentru un număr prim p ,

{\begin{aliniat}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)& =p+1\end{aliniat}}

deoarece, prin definiție, un număr prim este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Dacă p n # înseamnă primar , atunci

\sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}

Este clar că pentru toată lumea . $1<\sigma _{0}(n)<n$ $\sigma (n)>n$ $n > 2$

Funcția divizor este multiplicativă , dar nu complet multiplicativă .

Dacă scriem

n=\prod _{{i=1}}^{r}p_{i}^{{a_{i}}}

unde r = ω ( n ) este numărul de divizori primi ai lui n , p i este i - al -lea divizor prim și a i este puterea maximă a lui p i care împarte n , atunci

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{{r}}{\frac {p_{{i}}^{{(a_{{i}}+1)x }}-1}{p_{{i}}^{x}-1}}

care este echivalent cu:

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{a_{i}}}p_{i}^{{ jx}}=\prod _{{i=1}}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{{2x}}+\cdots +p_{i}^{ {a_{i}x}}).

Punând x = 0, obținem că d ( n ) este:

\sigma _{0}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}(a_{i}+1).

De exemplu, numărul n \u003d 24 are doi divizori primi - p 1 \u003d 2 și p 2 \u003d 3. Deoarece 24 este produsul lui 2 3 × 3 1 , atunci un 1 \u003d 3 și un 2 \u003d 1 .

Acum putem calcula : $\sigma _{0}(24)$

{\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{{i=1}}^{{2}}(a_{i}+1)\\&=(3+1) (1+1)=4\times 2=8.\end{aligned}}

Cei opt divizori ai lui 24 sunt 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 și 24.

De asemenea, rețineți că s ( n ) = σ ( n ) − n . Aici s ( n ) denotă suma divizorilor proprii ai numărului n , adică divizorii excluzând numărul n însuși . Această funcție este folosită pentru a determina perfecțiunea unui număr - pentru ele s ( n ) = n . Dacă s ( n ) > n , n este numit excesiv , iar dacă s ( n ) < n , n este numit insuficient .

Dacă n este o putere a două, adică , atunci s (n) = n - 1 , ceea ce face ca n aproape perfect . $n=2^{k}$ $\sigma (n)=2\times 2^{k}-1=2n-1,$

De exemplu, pentru două p și q simple (unde p < q ), fie

n=pq.

Apoi

\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),

\phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),

și

n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,

p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,

unde φ ( n ) este funcţia Euler .

Atunci rădăcinile p și q ale ecuației:

(xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[ (\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0

poate fi exprimat în termeni de σ ( n ) și φ ( n ) :

p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},

q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.

Cunoscând n și fie σ ( n ) fie φ ( n ) (sau cunoscând p+q și fie σ ( n ) fie φ ( n )) putem găsi cu ușurință p și q .

În 1984, Roger Heath-Brown a demonstrat asta

\sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)

apare de nenumărate ori.

Conexiune de rând

Două serii Dirichlet folosind funcția divizor:

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{{a}}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa) ,

iar cu notația d ( n ) = σ 0 ( n ) obținem

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),

iar al doilea rând

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab))).

Seria Lambert folosind funcția divizor:

\sum _{{n=1}}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n ^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

pentru orice complex | q | ≤ 1 și a .

Această sumă apare și în seria Fourier pentru seria Eisenstein și în invarianții funcțiilor eliptice Weierstrass .

Rata de creștere asimptotică

În ceea ce privește o-small , funcția divizor satisface inegalitatea (vezi pagina 296 din cartea Apostolului [6] )

pentru toți

\epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).

Severin Wiegert a dat o estimare mai exactă

\limsup _{{n\to \infty }}{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.

Pe de altă parte, deoarece numărul numerelor prime este infinit ,

\liminf _{{n\to \infty }}d(n)=2.

În ceea ce privește O mare , Dirichlet a arătat că ordinea medie a funcției divizor satisface următoarea inegalitate (vezi Teorema 3.3 din cartea Apostolului)

pentru toți

x\geq 1,\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),

unde este constanta Euler-Mascheroni . $\gamma$

Sarcina de a îmbunătăți limita în această formulă este problema divizorului Dirichlet $O({\sqrt {x)))$

Comportamentul funcției sigma este neuniform. Rata de creștere asimptotică a funcției sigma poate fi exprimată prin formula:

\limsup _{{n\rightarrow \infty }}{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },

unde lim sup este limita superioară a . Acest rezultat este teorema lui Grönwall publicată în 1913 [7] . Dovada sa folosește a treia teoremă a lui Mertens , care afirmă că

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{\log n}}\prod _{{p\leq n}}{\frac {p}{p-1}}=e^ {{\gamma }},

unde p este prim.

În 1915, Ramanujan a dovedit că în baza ipotezei Riemann, inegalitatea

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n

(inegalitatea lui Robin)

este valabil pentru toate n [8] suficient de mari . În 1984, Guy Robin a demonstrat că inegalitatea este adevărată pentru toți n ≥ 5041 dacă și numai dacă ipoteza Riemann este adevărată [9] . Aceasta este teorema lui Robin și inegalitatea a devenit cunoscută pe scară largă după demonstrarea teoremei. Cel mai mare număr cunoscut care încalcă inegalitatea este n = 5040. Dacă ipoteza Riemann este adevărată, atunci nu există numere mai mari decât aceasta și care încalcă inegalitatea. Robin a arătat că, dacă ipoteza este greșită, există infinit de multe numere n care încalcă inegalitatea și se știe că cel mai mic dintre astfel de numere n ≥ 5041 trebuie să fie un număr superredundant [10] . S-a demonstrat că inegalitatea este valabilă pentru numere mari impare fără pătrat și că ipoteza Riemann este echivalentă cu inegalitatea pentru toate numerele n divizibile cu puterea a cincea a unui număr prim [11]

Jeffrey Lagarias a demonstrat în 2002 că ipoteza Riemann este echivalentă cu afirmația

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

pentru orice n natural , unde este numărul armonic al n -lea [12] . $H_n$

Robin a dovedit că inegalitatea

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0,6483\ n}{\log \log n))

este valabil pentru n ≥ 3 fără nicio condiție suplimentară.

Note

↑ Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (ed. a doua), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 pagina 46
↑ Secvența OEIS A000005 _
↑ Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766, pp. 58
↑ Secvența OEIS A000203 _
↑ Secvența OEIS A001065 _
↑ „Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introducere în teoria numerelor analitice, Texte de licență în matematică, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929, Zbl 03035.
^ Grönwall , Thomas Hakon (1913), „Unele expresii asimptotice în teoria numerelor”, Transactions of the American Mathematical Society 14: 113-122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), „Highly composite numbers, adnotate by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin”, The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi:10.1023/A:1009764017495, ISSN 13082-MR009082-40 1606180
↑ Robin, Guy (1984), „Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 774171
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), „Superabundant numbers and the Riemann hypothesis”, American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi:10.4169/193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé Despre criteriul lui Robin pentru ipoteza Riemann 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, issue 2, pages=357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002), „An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis”, The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2605 4143095, MR 269

Link -uri

Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Teoria numerelor algoritmice , volumul 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , vezi pagina 234 din secțiunea 8.8.
Weisstein, Teorema lui Eric W. Robin (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Evaluarea elementară a anumitor sume de convoluție care implică funcții de divizor PDF de Huard, Ou, Spearman și Williams. Conține o dovadă elementară (adică nu bazată pe teoria formelor modulare) a convoluției sumei divizorilor, formule de reprezentare a numerelor în diverse moduri ca suma numerelor triunghiulare .

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant