Domeniu global

Un câmp global este un câmp de unul dintre cele două tipuri:

câmpul numerelor algebrice , adică o extensie finită a câmpului numerelor raționale , $\mathbb {Q}$

câmp global de funcții , adică câmpul de funcții pe o curbă algebrică peste un câmp finit , sau echivalent, o extensie finită - câmpuri de funcții raționale ale unei variabile peste un câmp finit de elemente. $\mathbb {F} _{q}(T)$ $\mathbb {F} _{q}$ $q$

O caracterizare axiomatică a unor astfel de câmpuri prin teoria exponenților a fost făcută de Emil Artin și George Voples în 1940. [unu]

Definiție

Câmpul global este unul dintre următoarele câmpuri:

Câmpul numerelor algebrice

Câmpul numerelor algebrice este o extensie finită (și astfel o extensie algebrică ) a câmpului numerelor raționale . Astfel, este un câmp care conține , și are dimensiune finită ca spațiu vectorial peste . $F$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Câmp de funcții pe o curbă algebrică peste un câmp finit

Câmpul funcțiilor pe o varietate este ansamblul tuturor funcțiilor raționale de pe această varietate. Pe o curbă algebrică (adică pe o varietate unidimensională ) peste un câmp finit, spunem că o funcție rațională pe o submulțime afină deschisă este definită ca raportul a două polinoame dintr-un inel de coordonate afine și considerăm că orice două astfel de funcții sunt echivalente dacă coincid la intersecția lor cu mulțimi afine deschise. Acest lucru definește din punct de vedere tehnic funcțiile raționale ca câmpul de relație al inelelor de coordonate afine ale oricăror submulțimi afine, deoarece întregul set al tuturor acestor submulțimi este dens. $V$ $U$ $U$ $V$

Analogie între două clase de câmpuri

Există o serie de asemănări formale între cele două tipuri de câmpuri. Indiferent de tipul câmpului, toate completările sale sunt câmpuri compacte local (vezi câmpul local ). Fiecare câmp de orice tip poate fi realizat ca un câmp de relație al unui inel Dedekind , în care fiecare ideal diferit de zero are un indice finit. În fiecare caz, există o „formulă de produs” pentru elemente diferite de zero : $X$

\prod \limits _{v}|x|_{v}=1.\

Analogia dintre cele două tipuri de câmpuri a fost o forță motrice puternică în teoria numerelor algebrice . Ideea unei analogii între câmpurile numerice algebrice și o suprafață Riemann se întoarce la Dedekind și Weber în secolul al XIX-lea. O analogie mai strictă, exprimată prin ideea unui câmp global, în care aspectul suprafeței Riemann ca o curbă algebrică mapată la curbe definite pe un câmp finit, a fost creată în anii 1930, conducând la ipoteza Riemann pentru curbele peste câmpuri finite , fundamentate de Weil în anul 1940. Terminologia poate fi legată de Weil, care și-a scris Teoria de bază a numerelor (1967) în parte pentru a dezvolta o analogie.

În general, este mai ușor să lucrați în cazul unui câmp de funcție și apoi să încercați să dezvoltați o tehnică similară pe partea câmpului numeric. Un exemplu dramatic este dezvoltarea teoriei lui Arakelov și utilizarea acesteia de către Faltings în demonstrarea conjecturii lui Mordell . Analogia a influențat și dezvoltarea teoriei lui Iwasawa și a ipotezei sale principale . În demonstrarea lemei fundamentale , programul Langlands a folosit și metode care au redus câmpul numeric la cazul unui câmp de funcție.

Teoreme

Teorema Minkowski-Hasse

Teorema Minkowski-Hasse este un rezultat fundamental în teoria numerelor care afirmă că două forme pătratice pe un câmp global sunt echivalente dacă și numai dacă sunt echivalente peste câmpuri locale, adică echivalente în orice completare a câmpului.

Legea reciprocității lui Artin

Legea reciprocității lui Artin implică o descriere a abelianizării grupului Galois absolut al câmpului global , care se bazează pe principiul lui Hasse . Poate fi descris în termeni de coomologie după cum urmează: $K$

Fie o extensie Galois a unui câmp local cu grupul Galois . Apoi legea reciprocității locale descrie izomorfismul canonic $L_{v}/K_{v}$ $G$

\theta _{v}:K_{v}^{\times}/N_{L_{v}/K_{v))(L_{v}^{\times })\la G^{\mathrm {ab}},

care se numeşte simbolul Artin local . [2] [3]

Să fie extensia Galois a câmpului global și să fie grupul de clasă de idele . Mapările pentru diferite pot fi asamblate într-un singur simbol global prin produsul componentelor locale ale clasei idel. Una dintre afirmațiile legii „reciprocității” a lui Artin este că aceasta duce la un izomorfism canonic [4] [5] $L/K$ $C_{L}$ $L$ $\theta _{v)$ $K_{v}$

Note

↑ Artin & Whaples, 1945 și Artin & Whaples, 1946
↑ Serre (1967) p.140
↑ Serre (1979) p.197
↑ Neukirch (1999) p.391
↑ Jurgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, p. 408. De fapt, o versiune mai precisă a legii reciprocității ține evidența ramificației.

Link -uri

Artin, Emil & Whaples, George (1945), Caracterizarea axiomatică a câmpurilor prin formula produsului pentru evaluări , Bull. amer. Matematică. soc. T. 51: 469–492 , DOI 10.1090/S0002-9904-1945-08383-9
Artin, Emil & Whaples, George (1946), O notă despre caracterizarea axiomatică a câmpurilor , Bull. amer. Matematică. soc. T. 52: 245–247 , DOI 10.1090/S0002-9904-1946-08549-3
JWS Cassels , „Câmpuri globale”, în JWS Cassels și A. Frohlich (eds), Teoria numerelor algebrice , Academic Press , 1973. Cap.II, pp. 45-84.
JWS Cassels, „Local fields”, Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . P.56.
Neukirch, Jurgen ; Schmidt, Alexander & Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , voi. 323 (ed. a doua), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-37888-4