Funcția zeta Dedekind

Funcția zeta Dedekind este funcția zeta a unui câmp numeric algebric , care este o generalizare a funcției zeta Riemann . $\zeta _{K}(s)$ $K$

Definiție și proprietăți principale

Fie un câmp numeric algebric, fie un număr complex , atunci $K$ $s$

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q } }(I))^{s}}}

unde trece prin toate idealurile diferite de zero ale inelului de numere întregi din câmpul , este norma absolută a idealului (care este egală cu indicele ). Această serie converge absolut pentru toți cu partea reală . $eu$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $N_{K/\mathbb {Q} }$ $eu$ $[{\mathcal {O}}_{K}\colon I]$ $s\in \mathbb {C}$ $\operatorname {Re} (s)>1$

În general, funcția zeta Dedekind este definită ca

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}

unde trece prin toți divizorii întregi ai câmpului și denotă norma divizorului . $\mathfrak{a}$ $K$ $N({\mathfrak {a}})$ $\mathfrak{a}$

Proprietăți

Dacă este câmpul numerelor raționale , atunci sunt funcțiile zeta Riemann. $K=\mathbb {Q}$ $\zeta _{\mathbb {Q} }(s)=\zeta (s)$

produs Euler

Funcția zeta Dedekind se extinde într-un produs Euler peste toate idealurile principale ale inelului $K$ $P$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\zeta _{K}(s)=\prod \limits _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{ (N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}}

la . $\operatorname {Re} (s)>1$

Această formulă exprimă unicitatea descompunerii unui ideal într-un produs de idealuri prime într-un inel Dedekind . Căci , acest produs al factorilor nenuli converge absolut către , de unde rezultă că în această regiune . $eu$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Re} (s)>1$ $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{K}(s)\neq 0$

Continuare analitică

$\zeta _{K}(s)$ are o continuare analitică la întregul plan complex, care este o funcție meromorfă cu un pol simplu la . $s=1$

Ecuație funcțională

Ca și funcția zeta Riemann, funcția zeta Dedekind satisface o ecuație funcțională care raportează valorile și . În mod specific, să fie discriminantul câmpului , să fie numărul de înglobări reale și să fie numărul de perechi de înglobări conjugate complexe ale câmpului în . Denota $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{K}(1-s)$ $D(K)$ $K$ $r$ $t$ $K$ $\mathbb {C}$

\Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)

\Gamma _{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)

unde este funcția gamma . Apoi funcția $\Gamma (s)$

\Lambda _{K}(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }^{r}(s)\Gamma _{\mathbf {C } }^{t}(s)\zeta _{K}(s)

satisface ecuația funcțională

\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)

Relația cu caracteristicile câmpului

Ca și funcția zeta Riemann, valorile funcției zeta Dedekind conțin (cel puțin ipotetic) informații aritmetice importante despre . $K$

De exemplu, un punct este un pol simplu , iar pentru câmpul numerelor algebrice de grade ( definit mai sus), reziduul din acest punct este $s=1$ $\zeta _{K}(s)$ $K$ $n=r+2t$ $r,t$

\lim \limits _{s\to 1+0}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r+t}\pi ^{t}R( K)}{w(K){\sqrt {|D(K)|}}}}h(K)

unde este numărul de clase de divizor, este discriminantul câmpului , este controlerul câmpului și este numărul de rădăcini ale lui 1 conținute în (ordinea subgrupului de torsiune ). Reziduul din acest punct oferă o formulă analitică pentru numărul de clase . $h(K)$ $D(K)$ $R(K)$ $K$ $w(K)$ $K$ ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$

Un alt exemplu este zero , a cărui ordine este egală cu rangul grupului de unități ale inelului . Limita în acest moment este $s=0$ $u$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\lim \limits _{s\to 0}s^{-u}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)} }.

Aceasta rezultă din ecuația și relația funcțională . $u=r+t-1$

Din ecuația funcțională și faptul că pentru toate numerele naturale obținem că . pentru toți , cu excepția cazului în care este pe deplin valabil (adică când , adică când sau ). În cazul complet real, Siegel a arătat că este un număr rațional diferit de zero pentru impar negativ . Stephen Lichtenbaum a propus o presupunere pentru exprimarea valorilor speciale pentru aceste numere raționale în termenii teoriei algebrice a câmpului K. $\Gamma (-n)=\infty$ $n$ $\zeta _{K}(-2n)=0$ $\zeta _{K}(-2n-1)=0$ $K$ $K$ $t=0$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],d>0$ $\zeta _{K}(s)$ $s$ $K$

Relația cu funcțiile zeta și L

În cazul în care este o extensie abeliană a lui , funcția sa zeta Dedekind poate fi reprezentată ca produse ale funcțiilor L Dirichlet . De exemplu, dacă este un câmp pătratic , atunci aceasta înseamnă că $K$ $\mathbb {Q}$ $\zeta _{K}(s)$ $K$

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)))=L(s,\chi )

unde este simbolul Jacobi folosit ca caracter Dirichlet . Această relație este o reformulare analitică a legii de reciprocitate pătratică a lui Gauss . $\chi$

În general, dacă este o extensie Galois a unui câmp cu un grup Galois , atunci funcția sa zeta Dedekind este o funcție L Artin a reprezentării regulate și, prin urmare, se descompune într-un produs al funcțiilor L Artin ale reprezentărilor Artin ireductibile . $K$ $\mathbb {Q}$ $G$ $G$ $G$

Conexiunea cu funcțiile Artin L arată că, dacă este o extensie Galois, atunci este holomorfă ( „divizează” ). În cazul unei extensii arbitrare, o afirmație similară rezultă din conjectura Artin pentru funcțiile L $L/K$ ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)))$ $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{L}(s)$

În plus, funcția zeta Hasse-Weil și funcția L motivică a motivului provin din coomologie . $\zeta _{K}(s)$ $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Spec.} K$

Ipoteza Riemann extinsă

Ipoteza Riemann extinsă (RHR) afirmă că pentru orice câmp numeric algebric, dacă este o rădăcină complexă a ecuației aflată în așa-numita bandă critică , atunci partea sa reală este . $K$ $s$ $\zeta _{K}(s)=0$ $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$ $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$

Ipoteza obișnuită Riemann se obține din cea extinsă pentru . $K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z}$

O versiune eficientă [6] a teoremei densității lui Chebotarev rezultă din RGR : dacă este o extensie Galois finită cu un grup Galois și este un set de clase de conjugație , numărul de numere prime neramificate în cu o normă care nu depășește clasa de conjugație Frobenius în crește la fel de $L/K$ $G$ $C$ $G$ $K$ $X$ $C$

{\frac {|C|}{|G|)}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\ln x+ \ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )

unde constanta in este absolută, este gradul de extensie peste , și este discriminantul. $O$ $n$ $L$ $\mathbb {Q}$ $D(K)$

Literatură

J. Bernstein, St. Gelbart. Introducere în programul Langlands. - Moscova - Izhevsk, 2008.
Z.I.Borevici, I.R.Shafarevici. Teoria numerelor. — M.: Nauka. Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985.
J. Cassels, A. Froelich. Teoria numerelor algebrice. — M.: Mir, 1969.