Îndoire (mecanică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 februarie 2019; verificările necesită 7 modificări .

Încovoiere - în rezistența materialelor , un tip de deformare , în care există o curbură a axelor barelor drepte sau o modificare a curburii axelor barelor curbe, o schimbare a curburii / curbură a suprafeței mijlocii a farfuria sau coaja. Încovoierea este asociată cu apariția momentelor încovoietoare în secțiunile transversale ale grinzii sau ale carcasei. Încovoierea directă a grinzii apare atunci când momentul încovoietor dintr-o secțiune transversală dată a grinzii acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale acestei secțiuni. În cazul în care planul de acțiune al momentului încovoietor într-o secțiune transversală dată a grinzii nu trece prin niciuna dintre axele principale de inerție ale acestei secțiuni, îndoirea se numește oblică .

Dacă, cu o îndoire dreaptă sau oblică, în secțiunea transversală a grinzii acționează doar un moment încovoietor, atunci, respectiv, există o îndoire dreaptă sau oblică pură . Dacă în secțiune transversală acționează și o forță transversală, atunci există o îndoire transversală dreaptă sau oblică transversală .

Adesea, termenul „dreaptă” nu este folosit în numele unei curbe directe pure și directe transversale și se numesc, respectiv, o curbă pură și o îndoire transversală.

Teoria clasică a îndoirii fasciculului ( teoria Euler - Bernoulli )

Această teorie stă la baza calculelor analitice ale grinzilor și cadrelor.

Ipoteze principale

Ipoteza secțiunii plane (Ipoteza lui Bernoulli): Secțiunile grinzii care sunt plane și normale față de axa înainte de deformare rămân plane și normale față de axa îndoită a grinzii după deformare. Astfel, deformarea prin forfecare a straturilor unul față de celălalt nu este luată în considerare. Singurul efort considerat în această teorie este efortul axial ; $\sigma _{z}$

Se presupune că deplasările și deformațiile sunt mici. Se presupune că fasciculul este inextensibil;

Se presupune că dimensiunile secțiunii grinzii sunt mici în comparație cu raza de curbură a axei grinzii;

Materialul este considerat a fi liniar elastic conform legii lui Hooke .

Derivarea ecuațiilor care relaționează factorii de forță la tensiuni și deformații

Rapoarte geometrice

Din ipotezele principale rezultă că deformația este distribuită de-a lungul înălțimii secțiunii după o lege liniară. Conform legii lui Hooke , $\varepsilon_{z}$

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}

adică tensiunile sunt de asemenea distribuite liniar.

În secțiunea grinzii (în cazul plan), apar un moment încovoietor , o forță transversală și o forță longitudinală . O sarcină externă distribuită acționează asupra secțiunii . $M_{x}$ $Q_{y}$ $N$ $q$

Luați în considerare două secțiuni adiacente situate la distanță una de cealaltă. În starea deformată, acestea sunt răsucite într-un unghi unul față de celălalt. Deoarece straturile superioare sunt întinse, iar cele inferioare sunt comprimate, este evident că există un strat neutru care rămâne neîntins. Este evidențiată cu roșu în figură. Modificarea razei de curbură a stratului neutru se scrie după cum urmează: $dz$ $d\theta$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{dz}}

Creșterea în lungime a segmentului AB, situat la distanță de axa neutră, se exprimă astfel: $y$

\Delta l=(y+\rho )d\theta -\rho d\theta =yd\theta

Astfel, deformarea:

\varepsilon _{z}={\frac {\Delta l}{l))={\frac {yd\theta }{\rho d\theta }}={\frac {y}{\rho }}

Raport de putere

Tensiune (conform legii lui Hooke ):

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}=E{\frac {y}{\rho }}

Să relaționăm stresul cu factorii de forță care apar în secțiune. Forța axială se exprimă după cum urmează:

N=\int \limits _{A}^{{\color {Alb}.}}{\sigma _{z}}\,dA=\int \limits _{A}^{{\color {Alb}. }}{E{\frac {y}{\rho }}}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {Alb}}.} } y\,dA

Integrala din ultima expresie este momentul static al secțiunii în jurul axei . Se obișnuiește să se ia ca axă axa centrală a secțiunii, astfel încât $X$ $X$

S_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {Alb}.}}y\,dA=0

Astfel, . Momentul încovoietor se exprimă astfel: $N=0$

M_{x}=\int \limits _{A}^({\color {Alb}.}}{\sigma _{z}y}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{{\color {Alb}.}}{y^{2}}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{x}

unde este momentul de inerție al secțiunii în jurul axei . $J_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {Alb}.}}{y^{2}}\,dA$ $X$

Tensiunile din sectiune pot fi de asemenea reduse la moment . Pentru a preveni acest lucru, trebuie îndeplinită următoarea condiție: $Ale mele}$

M_{y}={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {Alb}}.}}{yx}\,dA={\frac {E}{ \ rho }}J_{{xy}}=0

adică momentul de inerție centrifugal trebuie să fie zero, iar axa trebuie să fie una dintre axele principale ale secțiunii. $y$

Astfel, curbura axei îndoite a grinzii este legată de momentul încovoietor prin expresia:

{\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Distribuția tensiunilor de-a lungul înălțimii secțiunii este exprimată prin formula:

\sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y

Tensiunea maximă în secțiune este exprimată prin formula:

\sigma _{{max}}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x} }}

unde este momentul de rezistență al secțiunii la încovoiere, este înălțimea secțiunii grinzii. $W_{x}={\frac {J_{x}}{{\frac {h}{2}}}}$ $h$

Valorile și pentru secțiuni simple (rotunde, dreptunghiulare) sunt calculate analitic. Pentru o secțiune circulară cu un diametru de : $J_{x}$ $W_{x}$ $d$

$J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

$W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}$

Pentru o secțiune dreptunghiulară înălțime și lățime $h$ $b$

$J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

$W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}$

Pentru secțiuni mai complexe (de exemplu, canal , fascicul I ), având dimensiuni standardizate, aceste valori sunt date în literatura de referință.

Momentul încovoietor într-o secțiune poate fi obținut prin metoda secțiunii (dacă grinda este determinată static) sau prin metode forță/deplasare.

Ecuații diferențiale de echilibru. Definiția displacements

Principalele deplasări care apar în timpul îndoirii sunt deviațiile în direcția axei . Este necesar să le asociem cu momentul încovoietor în secțiune. Să notăm relația exactă care leagă deviațiile și curbura axei curbe: $v$ $y$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {v''}{(1+v'^{2})^{{{\frac {3}{2}}}}}}

Deoarece deviațiile și unghiurile de rotație sunt presupuse a fi mici, valoarea

v'^{2}=\left({\mathrm {tg}}\,(\theta )\right)^{2}\aprox \theta ^{2}

este mic. Prin urmare,

{\frac {1}{\rho }}\aprox v''

Mijloace,

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Să scriem ecuația de echilibru pentru secțiunea în direcția axei : $y$

Q_{y}+qdz-Q_{y}-dQ_{y}=0\Rrightarrow {\frac {dQ}{dz}}=q

Scriem ecuația pentru echilibrul momentelor în jurul axei : $X$

M_{x}+Q\,dz+q\,dz{\frac {\,dz}{2}}-M_{x}-\,dM_{x}=0

Cantitatea are ordinul 2 de micime și poate fi aruncată. Prin urmare, $q\,dz{\frac {\,dz}{2))$

{\frac {\,dM_{x}}{\,dz}}=Q_{y}

Astfel, există 3 ecuații diferențiale. La ei se adaugă ecuația pentru deplasări:

{\frac {\,dv}{\,dz))={\mathrm {tg))\,\theta \aproximativ \theta

Sub formă de matrice vectorială, sistemul este scris după cum urmează:

{\frac {\,d\overrightarrow {Z}}{\,dz}}+A\overrightarrow {Z}=\overrightarrow {b}

Unde

A={\begin{Bmatrix}0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&-\displaystyle {\frac {1}{EJ_{x}(z)))&0&0\\0&0&-1&0\end{Bmatrix)}

Vector de stare a sistemului:

\overrightarrow {Z}=(Q,M,\theta ,v)^{T}

Vector de sarcină externă:

\overrightarrow {b}=(q,0,0,0)^{T}

Această ecuație diferențială poate fi utilizată pentru a calcula grinzi multi-suport cu un moment de inerție în secțiune variabil pe lungime și sarcini distribuite într-un mod complex. Pentru a calcula grinzile simple se folosesc metode simplificate. În rezistența materialelor în calculul grinzilor determinate static , momentul încovoietor se găsește prin metoda secțiunii. Ecuația

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

integrat de două ori:

v'=\theta (z)=\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz+C_{1}

v(z)=\int \left(\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz\right)\,dz+C_{1}z+C_{2 }

Constantele , se găsesc din condițiile la limită impuse fasciculului. Deci, pentru grinda cantilever prezentată în figură: $C_{1}$ $C_{2}$

M_{x}(z)=-P(Lz)

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+C_{1}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}+C_{1}z+ C_ {2}

Condiții de frontieră:

\theta (0)=0\Rrightarrow C_{1}=0

v(0)=0\Rrightarrow C_{2}=0

În acest fel,

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}

Teoria lui Timoshenko a îndoirii fasciculului

Această teorie se bazează pe aceleași ipoteze ca și cea clasică, dar ipoteza Bernoulli este modificată: se presupune că secțiunile care erau plate și normale față de axa grinzii înainte de deformare rămân plate, dar încetează să mai fie normale cu axa curbă. Astfel, această teorie ia în considerare deformarea de forfecare și tensiunile de forfecare. Contabilitatea tensiunilor de forfecare este foarte importantă pentru calculul compozitelor și pieselor din lemn, deoarece distrugerea acestora poate apărea din cauza distrugerii liantului în timpul forfecării.

Dependente principale:

M=EJ{\frac {\,d\theta }{\,dz))

Q={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta -{\frac {\,dv}{\,dz}}\right)

unde este modulul de forfecare al materialului grinzii, este aria secțiunii transversale, este un coeficient care ia în considerare distribuția neuniformă a tensiunilor de forfecare pe secțiune și depinde de forma acesteia. Valoare $G$ $F$ $\alfa$

\gamma =\theta -{\frac {\,dv}{\,dz))

este unghiul de forfecare.

Îndoirea grinzilor pe o fundație elastică

Această schemă de proiectare simulează șine de cale ferată , precum și nave (în prima aproximare).

Baza elastică este considerată ca un set de arcuri neconectate între ele.

Cea mai simplă metodă de calcul se bazează pe ipoteza Winkler : reacția unei fundații elastice este proporțională cu deformarea într-un punct și este îndreptată către acesta:

$p=-k\cdot v$

unde este devierea; $v$

$p$ - reacție (pe unitatea de lungime a fasciculului);

$k$ - coeficient de proporționalitate (numit coeficient de pat ).

În acest caz, baza este considerată cu două fețe, adică reacția are loc atât atunci când fasciculul este presat în bază, cât și atunci când este separat de bază. Conjectura lui Bernoulli este valabilă.

Ecuația diferențială pentru îndoirea unei grinzi pe o fundație elastică are forma:

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ_{x}(z){\frac {d^{2}v}{dz^{2}}} \dreapta)+k(z)\cdot v=q(z)$

unde este devierea; $v(z)$

$EJ_{x}(z)$ - rigiditatea la încovoiere (care poate fi variabilă pe lungime);

$k(z)$ - coeficient de pat variabil pe lungime;

$q(z)$ - sarcina distribuita pe grinda.

Cu rigiditate constantă și coeficient de așternut, ecuația poate fi scrisă astfel:

$EJ_{x}{\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+k\cdot v=q(z)$

${\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+4m^{4}\cdot v=q(z)$

unde este indicat

$4m^{4}={\frac {k}{EJ_{x}))$

Îndoirea unui fascicul de curbură mare

Pentru grinzi, raza de curbură a axei cărora este proporțională cu înălțimea secțiunii , adică: $\rho _{0}$ $h$

${\frac {h}{\rho _{0}}}>0,2$

distribuția tensiunilor de-a lungul înălțimii se abate de la liniară, iar linia neutră nu coincide cu axa secțiunii (care trece prin centrul de greutate al secțiunii). O astfel de schemă de calcul este utilizată, de exemplu, pentru a calcula zale de lanț și cârlige de macara .

Formula de distribuție a tensiunilor este:

$\sigma ={\frac {M}{F\cdot e}}\cdot {\frac {y}{R+y}}$

unde este momentul încovoietor în secțiune; $M$

$R$ este raza liniei de secțiune neutră;

$F$ - arie a secțiunii transversale;

$e=R_{0}-R$ - excentricitate ;

$y$ - coordonatele de-a lungul înălțimii secțiunii , numărate de la linia neutră.

Raza liniei neutre este determinată de formula:

$R=\int {\frac {\,dF}{u}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {b(u)\,du} {u}}$

Integrala este preluată pe aria secțiunii transversale, coordonatele sunt măsurate de la centrul de curbură. Formulele aproximative sunt de asemenea valabile: $u$

$e={\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

$r_{0}=R_{0}-{\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

Sunt disponibile formule analitice pentru secțiuni transversale utilizate în mod obișnuit. Pentru o secțiune dreptunghiulară cu o înălțime : $h$

$R={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{0}+{\frac {h}{2)}}{R_{0}-{\frac {h}{2 )))))))={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}$

unde sunt razele de curbură ale suprafețelor interioare și respectiv exterioare ale fasciculului. $R_{1},R_{2}$

Pentru secțiunea rotundă:

$R={\frac {R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}-r^{2)))){2))$

unde este raza secțiunii. $r$

Verificarea rezistenței unui fascicul

În cele mai multe cazuri, rezistența grinzii este determinată de tensiunile maxime admise:

\sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T)))

unde este limita de curgere a materialului grinzii, este factorul de siguranță la curgere. Pentru materiale fragile: $\sigma _{T}$ $n_{T}$

\sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b)}}

unde este rezistența la rupere a materialului grinzii, este factorul de siguranță . $\sigma _{b}$ $n_{b}$

În cazul materialelor plastice , aceste formule pot subestima semnificativ valoarea sarcinii la care grinda își pierde capacitatea portantă. De fapt , capacitatea portantă se pierde numai dacă în orice secțiune întregul material trece în stare plastică. Atunci pot apărea deplasări inacceptabile în secțiune (se formează așa-numita balama de plastic ). Dacă luăm diagrama Prandtl ca diagramă tensiune-compresie , atunci momentul încovoietor limită pentru o bară dreptunghiulară cu lățime și înălțime este exprimat prin formula: $M_{{pr}}$ $b$ $h$

M_{{pr}}={\frac {1}{4}}bh^{2}\sigma _{T}

Încărcarea dinamică a grinzilor

Oscilații naturale

Luați în considerare o grindă cu densitatea materialului , aria secțiunii transversale și rigiditatea la încovoiere . Ecuația oscilațiilor naturale are forma: $\rho$ $A$ $E J$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left(EJ{\frac {\partial ^{2}x}{\partial z^{2}}} \right)+m_{0}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}=0$

unde este deplasarea transversală, este masa pe unitatea de lungime a tijei. Solutia se cauta sub forma: $x(z,t)$ $m_{0}=\rho A$

$x(z,t)=u(z)\cos(pt+\phi)$

Înlocuind, obținem ecuația diferențială obișnuită :

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-m_{ 0}p^{2}u=0$

Pentru un fascicul de secțiune constantă, acesta este convertit în forma:

${\frac {d^{4}u}{dz^{4}}}-\alpha ^{4}u=0$

Unde

$\alpha ^{4}={\frac {p^{2}m_{0}}{EJ}}$

Este convenabil să prezentați soluția folosind funcțiile Krylov :

$u=\sum _{i=1}^{4}C_{i}K_{i}(\alpha z)$

unde sunt funcțiile Krylov:

$K_{1}(\alpha z)={\frac {1}{2)}(\operatorname {ch} \alpha z+\cos \alpha z)$

$K_{2}(\alpha z)={\frac {1}{2)}(\operatorname {sh} \alpha z+\sin \alpha z)$

$K_{3}(\alpha z)={\frac {1}{2)}(\operatorname {ch} \alpha z-\cos \alpha z)$

$K_{4}(\alpha z)={\frac {1}{2)}(\operatorname {sh} \alpha z-\sin \alpha z)$

a sunt permanente. $C_{i}$

Funcțiile lui Krylov sunt conectate prin dependențe:

${\frac {d}{dz}}K_{1}(\alpha z)=\alpha K_{4}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{2}(\alpha z)=\alpha K_{1}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{3}(\alpha z)=\alpha K_{2}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{4}(\alpha z)=\alpha K_{3}(\alpha z)$

Aceste dependențe simplifică foarte mult scrierea condițiilor la limită pentru grinzi:

$C_{1}=u_{z=0};C_{2}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {du}{dz}}\right)_{z =0};C_{3}={\frac {1}{EJ\alpha ^{2}}}M_{z=0};C_{4}={\frac {1}{EJ\alpha ^{3 }}}Q_{z=0}$

Două condiții limită sunt specificate la fiecare capăt al fasciculului.

Ecuația vibrațiilor naturale are infinite de soluții. În același timp, de regulă, doar primele câteva dintre ele, corespunzătoare celor mai joase frecvențe naturale, sunt de interes practic.

Formula generală pentru frecvența naturală este:

$p_{k}=\lambda _{k}^{2}{\sqrt {\frac {EJ}{m_{0}l^{4)))}$

Pentru grinzi cu o singură travă:

Ancorare		$\lambda_k$
Capătul din stânga	Capătul drept	$\lambda_k$
rezilierea	rezilierea	$\lambda _{1}=4,73;$ $\lambda _{2}=7.853;$
Gratuit	Gratuit	$\lambda _{1}=0;$ $\lambda _{2}=0;$ pentru k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k+1}{2}}\pi ;$
rezilierea	Articulat	$\lambda _{1}=3.927;$ $\lambda _{2}=7.069;$ pentru k>2 $\lambda _{k}={\frac {4k+1}{4}}\pi ;$
Articulat	Articulat	$\lambda _{k}=k\pi$
rezilierea	Gratuit	$\lambda _{1}=1.875;$ $\lambda _{2}=4.694;$ pentru k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k-1}{2}}\pi ;$

Vibrații forțate

Îndoirea cochiliilor

Vezi și

Alungirea la încovoiere

Literatură

Biderman VL Teoria oscilațiilor mecanice: manual pentru licee. - M .: Mai sus. Scoala, 1980. - 408 p.
Feodosiev V.I. Rezistența materialelor. - M .: editura MSTU im. N. E. Bauman, 1999

Link -uri

Date de proiectare pentru grinzi standard de secțiune constantă