Centrul de masă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 26 iulie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Centrul de masă (și centrul de inerție ) este un punct geometric, a cărui poziție este determinată de distribuția masei în corp, iar deplasarea caracterizează mișcarea corpului sau a sistemului mecanic în ansamblu [1] . Vectorul rază a unui punct dat este dat de formula

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r }}){\vec {r}}dV,

unde este densitatea dependentă de coordonate, iar integrarea se realizează pe volumul corpului. Centrul de masă poate fi fie în interiorul, fie în exteriorul corpului. $\rho ({\vec {r))}$

Utilizarea conceptului de centru de masă, precum și a sistemului de coordonate asociat cu centrul de masă, este convenabilă în multe aplicații ale mecanicii și simplifică calculele. Dacă forțele externe nu acționează asupra unui sistem mecanic, atunci centrul său de masă se mișcă cu o viteză constantă în mărime și direcție.

Giovanni Ceva a aplicat luarea în considerare a centrelor de masă la rezolvarea problemelor geometrice, drept urmare au fost formulate teoremele lui Menelaus și teoremele lui Ceva [2] .

În cazul sistemelor de puncte materiale și corpuri într-un câmp gravitațional omogen, centrul de masă coincide cu centrul de greutate, deși în cazul general acestea sunt concepte diferite.

Centrul de masă în mecanica clasică

Definiție

Poziția centrului de masă (centrul de inerție) al unui sistem de puncte materiale în mecanica clasică se determină după cum urmează [3] :

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}} },

unde este vectorul rază al centrului de masă, este vectorul rază al punctului i - lea al sistemului, este masa punctului i -lea. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ $m_{i)$

Pentru cazul distribuției continue a masei:

{\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,

M=\int \limits _{V}\rho ({\vec r})dV,

unde este masa totală a sistemului, este volumul, este densitatea. Centrul de masă caracterizează astfel distribuția masei pe un corp sau un sistem de particule. $M$ $V$ $\rho$

Dacă sistemul nu este format din puncte materiale, ci din corpuri extinse cu mase , atunci vectorul rază a centrului de masă al unui astfel de sistem este legat de vectorii rază ai centrelor de masă ale corpurilor prin relația [4] : $M_{i}$ $R_{c}$ $R_{{ci}}$

{\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci))}{\sum \limits _{i}M_{i }}}.

Într-adevăr, să fie date mai multe sisteme de puncte materiale cu mase ale sistemului radius-vector : $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ ${\vec {R}}_{c_{n}}$ $n$

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_ {n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{ \vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n }}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}= {\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

La trecerea la corpuri extinse cu o distribuție continuă a densității, formulele vor conține integrale în loc de sume, care vor da același rezultat.

Cu alte cuvinte, în cazul corpurilor extinse este valabilă o formulă, care în structura ei coincide cu cea folosită pentru punctele materiale.

Exemple

Centrele de masă ale figurilor plate omogene

Segmentul are un mijloc.
Pentru poligoane:
- Un paralelogram are un punct în care diagonalele se intersectează .
- Un triunghi are un punct de intersecție median ( centroid ).
Un poligon regulat are un centru de simetrie de rotație .
Un semicerc are un punct care împarte raza perpendiculară în raport cu centrul cercului. ${\frac {4}{3\pi }}$

Coordonatele centrului de masă al unei figuri plate omogene pot fi calculate prin formulele (o consecință a teoremelor Papp-Guldin ):

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

iar , unde este volumul corpului obținut prin rotirea figurii în jurul axei corespunzătoare, este aria figurii.

y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}

V_{x},V_{y}

S

Centrele de masă ale perimetrelor figurilor omogene

Centrul de masă al laturilor triunghiului se află în centrul cercului înscris al triunghiului suplimentar (un triunghi cu vârfuri situate în mijlocul laturilor acestui triunghi). Acest punct se numește centrul lui Spieker . Aceasta înseamnă că, dacă laturile triunghiului sunt făcute dintr-un fir subțire de aceeași secțiune transversală, atunci centrul de masă ( baricentrul ) al sistemului rezultat va coincide cu centrul cercului înscris al triunghiului suplimentar sau cu Spieker. centru.

Utilizare

Conceptul de centru de masă este utilizat pe scară largă în fizică, în special în mecanică.

Mișcarea unui corp rigid poate fi considerată ca o suprapunere a mișcării centrului de masă și a mișcării de rotație a corpului în jurul centrului său de masă. În acest caz, centrul de masă se mișcă în același mod ca un corp cu aceeași masă, dar dimensiuni infinitezimale ( punctul material ) s-ar mișca. Aceasta din urmă înseamnă, în special, că toate legile lui Newton sunt aplicabile pentru a descrie această mișcare . În multe cazuri, se poate ignora cu totul dimensiunile și forma corpului și se poate lua în considerare doar mișcarea centrului său de masă.

Este adesea convenabil să se ia în considerare mișcarea unui sistem închis într- un cadru de referință asociat cu centrul de masă. Un astfel de sistem de referință se numește sistemul de centru de masă (sistemul C) sau sistemul centrului de inerție . În el, impulsul total al unui sistem închis rămâne întotdeauna egal cu zero, ceea ce ne permite să simplificăm ecuațiile mișcării sale.

Centrul de masă în mecanica relativistă

În cazul vitezelor mari (de ordinul vitezei luminii ) (de exemplu, în fizica particulelor elementare ), aparatul SRT este utilizat pentru a descrie dinamica sistemului . În mecanica relativistă (SRT), conceptele de centru de masă și sistem de centru de masă sunt, de asemenea, cele mai importante concepte, cu toate acestea, definiția conceptului se modifică:

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}} },

unde este vectorul rază al centrului de masă, este vectorul rază al particulei i -a a sistemului, este energia totală a particulei i -a. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ $E_{i)$

Această definiție se aplică numai sistemelor de particule care nu interacționează. În cazul particulelor care interacționează, definiția trebuie să țină cont în mod explicit de impulsul și energia câmpului creat de particule [5] .

Pentru a evita greșelile, trebuie înțeles că în SRT centrul de masă este caracterizat nu prin distribuția masei, ci prin distribuția energiei. În cursul fizicii teoretice de Landau și Lifshitz , termenul „centru de inerție” este preferat. În literatura occidentală despre particulele elementare, este folosit termenul „centru de masă” ( în engleză center-of-mass ): ambii termeni sunt echivalenti.

Viteza centrului de masă în mecanica relativistă poate fi găsită prin formula:

{\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p} _{i}.

Concepte înrudite

Centrul de masă vs. barycenter

Termenul „centru de masă” este sinonim cu unul dintre semnificațiile conceptului de baricentru (din greaca veche βαρύς - grea + κέντρον - centru), dar acesta din urmă este folosit în principal în problemele de astrofizică și mecanică cerească. Prin baricentru se înțelege centrul de masă comun mai multor corpuri cerești, în jurul căruia aceste corpuri se mișcă. Un exemplu ar fi mișcarea comună a unei planete și a unei stele (vezi figura) sau o componentă a stelelor binare . Centrul de masă (baricentrul) în acest caz este situat pe segmentul de lungime care leagă corpurile cu mase și , la distanță de corp . $l$ $m_1$ $m_2$ $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ $m_1$

Un alt sens al cuvântului baricentru se referă mai degrabă la geometrie decât la fizică; în această valoare, expresia coordonatei baricentrului diferă de formula centrului de masă prin absența densității (ca și când ar fi întotdeauna const). $\rho =$

Centrul de masă vs. centrul de greutate

Centrul de masă al corpului nu trebuie confundat cu centrul de greutate.

Centrul de greutate al unui sistem mecanic este punctul față de care momentul total al forțelor de greutate (care acționează asupra sistemului) este egal cu zero. De exemplu, într-un sistem format din două mase identice legate printr-o tijă inflexibilă și plasate într-un câmp gravitațional neomogen (de exemplu, planete), centrul de masă va fi în mijlocul tijei, în timp ce centrul de greutate al sistemul va fi deplasat la acel capăt al tijei, care este mai aproape de planetă (deoarece greutatea P = m g depinde de parametrul câmpului gravitațional g ) și, în general vorbind, este chiar situat în afara tijei.

Într-un câmp gravitațional uniform, centrul de greutate coincide întotdeauna cu centrul de masă. În problemele non-cosmice, câmpul gravitațional poate fi considerat de obicei constant în volumul corpului, așa că în practică acești doi centri aproape coincid.

Din același motiv, conceptele de centru de masă și centru de greutate coincid atunci când acești termeni sunt folosiți în geometrie, statică și domenii similare, unde aplicarea sa în comparație cu fizica poate fi numită metaforică și unde situația echivalenței lor este implicit presupus (de vreme ce nu există un câmp gravitațional real, atunci luarea în considerare a eterogenității acestuia nu are sens). În aceste utilizări, cei doi termeni sunt în mod tradițional sinonimi și, adesea, al doilea este preferat pur și simplu pentru că este mai vechi.

Vezi și

Note

↑ Targ S. M. Centrul de inerție (centrul de masă) // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă , 1999. - V. 5: Dispozitive stroboscopice - Luminozitate. - S. 624-625. — 692 p. — 20.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
↑ Zhuravlev, 2001 , p. 66.
↑ Feynman R. , Layton R., Sands M. Issue 2. Space. Timp. Mișcare // Feynman prelegeri de fizică . - M . : Mir, 1965. - 164 p. - S. 68.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988 . — 512 p. - („Fizica teoretică”, Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Literatură

Centrul Bobylev D.K. , în fizică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Zhuravlev VF Fundamentele mecanicii teoretice. a 2-a ed. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 . .