Funcții trigonometrice inverse

Funcțiile trigonometrice inverse ( funcții circulare , funcții arc ) sunt funcții matematice care sunt inverse funcțiilor trigonometrice . Funcțiile trigonometrice inverse includ de obicei șase funcții:

arcsinus (simbol: unghi al cărui sinus este ) $\arcsin x;$ $X$
arccosinus (simbol: unghiul al cărui cosinus este egal cu etc.) $\arccos x;$ $X$
arctangent (simbol: ; în literatura străină ) $\operatorname {arctg} x$ $\arcan x$
arc tangentă (simbol: ; în literatura străină sau ) $\operatorname {arcctg} x$ $\operatorname {arccot} x$ $\operatorname {arccotan} x$
arcsecant (simbol: ) $\operatorname {arcsec} x$
arccosecant (simbol: ; în literatura străină ) $\operatorname {arccosec} x$ $\operatorname {arccsc} x$

Denumirea funcției trigonometrice inverse se formează din numele funcției trigonometrice corespunzătoare prin adăugarea prefixului „arc-” (din latinescul arc us - arc). Acest lucru se datorează faptului că geometric valoarea funcției trigonometrice inverse poate fi asociată cu lungimea arcului unui cerc unitar (sau unghiului care subtind acest arc) corespunzător unuia sau altuia segment. Deci, sinusul obișnuit vă permite să găsiți coarda scăzând-o de-a lungul arcului de cerc, iar funcția inversă rezolvă problema opusă. Modul de desemnare a funcțiilor trigonometrice inverse în acest fel a apărut la matematicianul austriac al secolului al XVIII-lea, Karl Scherfer , și a fost fixat datorită lui Lagrange . Pentru prima dată, un simbol special pentru funcția trigonometrică inversă a fost folosit de Daniel Bernoulli în 1729. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, școlile de matematică engleză și germană au oferit alte notații: dar nu au prins rădăcini [1] . Doar ocazional în literatura străină, precum și în calculatoarele științifice/inginerești, se folosesc notații precum sin -1 , cos -1 pentru arcsinus, arccosinus etc. [2] - o astfel de notație este considerată nepotrivită, deoarece este posibilă confuzia cu ridicarea funcției la puterea −1. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

Funcțiile trigonometrice sunt periodice, deci funcțiile inverse acestora sunt multivalorice. Adică, valoarea funcției arc este mulțimea de unghiuri ( arce ) pentru care funcția trigonometrică directă corespunzătoare este egală cu un număr dat. De exemplu, înseamnă un set de unghiuri al căror sinus este . Din setul de valori ale fiecărei funcții arc, valorile sale principale sunt evidențiate (a se vedea graficele principalelor valori ale funcțiilor arcului de mai jos), care sunt de obicei înțelese atunci când vorbim despre arcsinus, arccosinus etc. $\arcsin 1/2$ $\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$ $1/2$

În cazul general, în condiția , toate soluțiile ecuației pot fi reprezentate ca [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alpha$ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Raport de bază

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\operatorname {arctg}\,x+\operatorname {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

funcția arcsin

Arcsinusul numărului x este valoarea unghiului y , exprimată în radiani , pentru care $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2)}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

Funcția este continuă și mărginită în întregul său domeniu de definiție. Este strict în creștere. $y=\arcsin x$

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ la $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ la $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (domeniu),
$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right]\qquad$ (gama de valori).

Proprietățile funcției arcsin

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (funcția este impară ).
$\arcsin x>0$ la . $0<x\leqslant 1$
$\arcsin x=0$ la $x=0.$
$\arcsin x<0$ la $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrice}}\right.$
$\arcsin x=\operatorname {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrice}\operatorname {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\operatorname {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix }}\dreapta.$

Obținerea funcției arcsin

Dată o funcție . Pe întregul său domeniu de definiție, este monoton pe bucăți și, prin urmare, pe întreaga linie numerică, corespondența inversă nu este o funcție. Prin urmare, luați în considerare segmentul , pe care funcția crește strict monoton și ia toate valorile intervalului său de valori o singură dată. Apoi există o funcție inversă pe interval , al cărei grafic este simetric cu graficul funcției față de dreapta . $y=\sin x$ $y=\arcsin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\sin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\arcsin x$ $y=\sin x$ $y=x$

funcția arccos

Arccosinusul unui număr x este valoarea unghiului y în radian, pentru care $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

Funcția este continuă și mărginită în întregul său domeniu de definiție. Este strict în scădere și nu este negativ. $y=\arccos x$

$\cos(\arccos x)=x$ la $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ la $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (domeniu),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (gama de valori).

Proprietățile funcției arccos

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Funcția este simetrică central față de punct și este indiferentă (nici par, nici impar) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$
$\arccos x>0$ la $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ la $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrice}}\right.$
$\arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2)}})$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrice}\operatorname {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{matrice }}\dreapta.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\operatorname {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Obținerea funcției arccos

Dată o funcție . Pe întregul său domeniu de definiție, este monoton pe bucăți și, prin urmare, pe întreaga linie numerică, corespondența inversă nu este o funcție. Prin urmare, luați în considerare segmentul , pe care funcția este strict în scădere monotonă și ia toate valorile intervalului său de valori o singură dată. Apoi există o funcție inversă pe interval , al cărei grafic este simetric cu graficul funcției față de dreapta . $y=\cos x$ $y=\arccos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

funcția arctg

Arctangenta numărului x este valoarea unghiului exprimată în radiani , pentru care $y,$ $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Funcția este definită pe întreaga linie reală, continuă și mărginită peste tot. Este strict în creștere. $y=\operatorname {arctg}x$

$\operatorname {tg}\,(\operatorname {arctg}\,x)=x$ la $x\in {\mathbb R},$
$\operatorname {arctg}\,(\operatorname {tg}\,y)=y$ la $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (domeniu),
$E(\operatorname {arctg}\,x)=\left(-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right)$ (gama de valori).

Proprietățile funcției arctg

$\operatorname {arctg}(-x)=-\operatorname {arctg}x\qquad$ (funcția este impară ).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)})).$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrice}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)}}),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrice}}\right.$
$\operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrice}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\ frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrice}}\right.$
$\operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix)$ , unde este tangenta hiperbolica inversa, tangenta zonala . $\operatorname {arth}$
$\operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.$

Obținerea funcției arctg

Dată o funcție . Este monotonă pe bucăți în întregul său domeniu de definiție și, prin urmare, corespondența inversă nu este o funcție. Prin urmare, luați în considerare intervalul , pe care funcția crește strict monoton și ia toate valorile intervalului său o singură dată. Atunci există o funcție inversă pe intervalul al cărei grafic este simetric cu graficul funcției față de dreapta . $y=\operatorname {tg}\,x$ $y=\operatorname {arctg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operatorname {tg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operatorname {arctg}\,x$ $y=\operatorname {tg}\,x$ $y=x$

funcția arcctg

Arc-tangente a unui număr x este valoarea unghiului y (în măsura în radiani a unghiurilor) pentru care $\operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Funcția este definită pe întreaga linie reală, continuă și mărginită peste tot. Este strict în scădere și peste tot pozitiv. $y=\operatorname {arctg}\,x$

$\operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x$ la $x\in {\mathbb R},$
$\operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y$ la $0<y<\pi ,$
$D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty;\infty),$
$E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$

proprietățile funcției arcctg

$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.$ Graficul funcției este simetric central față de punctul Funcția este indiferentă (nici par, nici impar) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\dreapta).$
$\operatorname {arcctg} x>0$ pentru orice $X.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)})).$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)}}),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrice}}\right.$
$\operatorname{arctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrice}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\ frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrice}}\right.$

Obținerea funcției arcctg

Dată o funcție . Este monotonă pe bucăți în întregul său domeniu de definiție și, prin urmare, corespondența inversă nu este o funcție. Prin urmare, luați în considerare intervalul , pe care funcția scade strict monoton și ia toate valorile intervalului său o singură dată. Atunci există o funcție inversă pe intervalul al cărei grafic este simetric cu graficul funcției față de dreapta . $y=\operatorname {ctg}\,x$ $y=\operatorname {arctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operatorname {ctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operatorname {arctg}\,x$ $y=\operatorname {ctg}\,x$ $y=x$

Graficul arc-tangentei se obține din graficul arc-tangentei dacă acesta din urmă este reflectat de-a lungul axei y (adică înlocuiți semnul argumentului, ) și deplasat în sus cu π / 2 ; aceasta rezultă din formula de mai sus $x\rightarrow -x$ $\operatorname {arctg}x=\operatorname {arctg}(-x)+\pi /2.$

funcția arcsec

Arcsecanta unui număr x este valoarea unghiului y (în măsura radianilor unghiurilor) pentru care $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Funcția este continuă și mărginită în întregul său domeniu de definiție. Este strict în creștere și peste tot nu este negativ. $y=\operatorname {arcsec} x$

$\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$ la $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$ la $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (domeniu),
$E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\cup ({\frac {\pi }{2));\pi ]$ (gama de valori).

Proprietăți ale funcției arcsec

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$ Graficul funcției este simetric central față de punctul Funcția este indiferentă (nici par, nici impar) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\dreapta).$
$\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$ pentru orice $X.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrice}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrice}}\right.$
$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$
$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

funcția arccosec

Arccosecanta unui număr x este valoarea unghiului y (în măsura radianilor unghiurilor) pentru care $\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Funcția este continuă și mărginită în întregul său domeniu de definiție. Este strict în scădere. $y=\operatorname {arccosec} x$

$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ la $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$ la $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (domeniu),
$E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (gama de valori).

Proprietățile funcției arccosec

$\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$ (funcția este impară ).
$\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin {matrice}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrice}}\dreapta.$
$\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Extindere în serie

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ pentru toată lumea [4] $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{{2n+1}}$ pentru toți $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ suma _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ pentru toți $\left|x\right|\leq 1$

Derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse

Toate funcțiile trigonometrice inverse sunt diferențiabile la infinit în fiecare punct din domeniul lor de definiție. Primele derivate:

Funcţie $f(x)$	Derivat $f'(x)$	Notă
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Dovada Puteți găsi derivata arcsinusului folosind funcții reciproc inverse. După care trebuie să luăm derivata acestor două funcții. Acum trebuie să exprimăm derivata arcsinusului. Pe baza identității trigonometrice ( ) - obținem. Pentru a înțelege plusul ar trebui să fie sau minus, să aruncăm o privire la ce valori. Deoarece cosinusul se află în cadranele 2 și 4, se dovedește că cosinusul este pozitiv. Se dovedește. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x)))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2)}]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)}))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Dovada Puteți găsi derivata arccosinului folosind această identitate: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum exprimăm derivata arccosinului. Se dovedește. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)}))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\frac {1}{1+x^{2)}}$	Dovada Puteți găsi derivata arc-tangentei folosind funcția reciprocă: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum trebuie să exprimăm derivata arc-tangentei: Acum identitatea ( ) ne va veni în ajutor : Se dovedește. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ $cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x))))$ $(arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2)$ $(arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2)})$
$\mathrm {arcctg} \x$	$-{\frac {1}{1+x^{2)}}$	Dovada Puteți găsi derivata tangentei inverse folosind această identitate: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum exprimăm derivata tangentei inverse. Se dovedește. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ $(arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2)))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Dovada Puteți găsi derivata arcsecantei folosind identitatea: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x))}$ Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2)}))))\cdot (-{\frac {1 {x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2)})))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Se dovedește. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Dovada Puteți găsi derivata arcului cosecantei folosind această identitate: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum exprimăm derivata arccosinului. Se dovedește. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1)))}$

Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse

Integrale nedefinite

Pentru x real și complex :

{\begin{aliniat}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\operatorname {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname{arcsec} x \,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2))}\ ,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \peste x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aliniat}}

Pentru x real ≥ 1:

{\begin{aliniat}\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ dreapta)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\dreapta)+C.\end{aliniat}}

Vezi și Lista integralelor funcțiilor trigonometrice inverse

Utilizare în geometrie

Funcțiile trigonometrice inverse sunt utilizate pentru a calcula unghiurile unui triunghi dacă laturile sale sunt cunoscute, cum ar fi folosind teorema cosinusului .

Într -un triunghi dreptunghic , aceste funcții ale raporturilor laturilor dau imediat unghiul. Deci, dacă lungimea piciorului este opusă unghiului , atunci $A$ $\alfa$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}( c/b)=\operatorname {arctg} (b/a).$

Legătura cu logaritmul natural

Pentru a calcula valorile funcțiilor trigonometrice inverse dintr-un argument complex, este convenabil să folosiți formule care le exprimă în termeni de logaritm natural:

{\begin{aliniat}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aliniat}}

{\begin{aliniat}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aliniat}}

{\begin{aliniat}\operatorname {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aliniat} }

{\begin{aliniat}\operatorname {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ în \left({\dfrac {z+i}{z}}\dreapta)\dreapta),\end{aliniat}}

{\begin{aligned}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\dreapta),\end{aliniat}}

{\begin{aliniat}\operatorname {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\dreapta).\end{aliniat}}

Vezi și

Note

↑ Alexandrova N. V. Istoria termenilor matematici, concepte, notație: Dicționar-carte de referință, ed. al 3-lea . - Sankt Petersburg. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Aici semnul −1 definește funcția x = f −1 ( y ), inversul funcției y = f ( x )
↑ Dicţionar Enciclopedic, 1985 , p. 220.
↑ Cu o valoare de x apropiată de 1, această formulă de calcul dă o eroare mare. Prin urmare, puteți folosi formula unde $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Link -uri

Weisstein, Eric W. Funcții trigonometrice inverse la Wolfram MathWorld .
Enciclopedie matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov. - M .: „Enciclopedia Sovietică”, 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - str. 1135].
Funcții trigonometrice inverse - articol din Marea Enciclopedie Sovietică . - M .: „Enciclopedia Sovietică”, 1974. - T. 18. - p. 225.
Funcții trigonometrice inverse // Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician / Savin A.P. - M . : Pedagogie, 1985. - S. 220-221. — 352 p.
Trasarea online a funcțiilor trigonometrice inverse
Calculator online: funcții trigonometrice inverse

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate