Metoda clasică de calcul a tranzitorilor

Denumirea metodei „clasică” reflectă utilizarea în ea a soluțiilor ecuațiilor diferențiale cu parametri constanți prin metodele matematicii clasice. Această metodă are claritate fizică și este convenabilă pentru calcularea circuitelor simple (calculul circuitelor complexe este simplificat prin metoda operatorului ).

Metodologie

Etapele calculului procesului tranzitoriu în circuit prin metoda clasică:

Găsiți condiții inițiale independente , adică tensiuni pe capacități și curenți pe inductanțe în momentul începerii procesului tranzitoriu.
În continuare, este necesar să se compună un sistem de ecuații bazat pe legile lui Kirchhoff , Ohm , inducție electromagnetică etc., care să descrie starea circuitului după comutare și, prin excluderea variabilelor, să se obțină o ecuație diferențială, în cazul general, neomogen în raport cu curentul sau tensiunea dorită . Pentru circuitele simple se obține o ecuație diferențială de ordinul întâi sau al doilea, în care se alege fie curentul în elementul inductiv, fie tensiunea pe elementul capacitiv ca valoare dorită. $i$ $u$
Apoi, soluția generală a ecuației diferențiale neomogene obținute a circuitului ar trebui să fie compilată ca suma unei soluții particulare a ecuației diferențiale neomogene și soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare.
În cele din urmă, în soluția generală, ar trebui să găsim constantele de integrare din condițiile inițiale, adică condițiile din circuit la momentul inițial după comutare.

În ceea ce privește circuitele electrice, ca o soluție specială a ecuației diferențiale neomogene, starea staționară din circuitul în cauză (dacă există), adică curenți și tensiuni continue, dacă surse de EMF și curenți constante acționează în circuit. , sau tensiuni și curenți sinusoidali sub acțiunea surselor EMF și curenți sinusoidali. Curenții și tensiunile în regim staționar se numesc stare staționară .

Soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene descrie un proces dintr-un circuit fără surse de EMF și curent, care se numește, prin urmare, un proces liber . Curenții și tensiunile unui proces liber se numesc liber , iar expresiile lor trebuie să conțină constante de integrare, al căror număr este egal cu ordinea ecuației omogene.

Un exemplu de calcul al celui mai simplu proces tranzitoriu prin metoda clasică

Provocare

Figura prezintă un circuit RL comutat . La un moment dat în timp t=0, cheia K se închide. Determinați dependența de timp a curentului din circuitul RL.

Soluție

Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, circuitul este descris de următoarea ecuație diferențială:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

unde primul termen descrie căderea de tensiune pe rezistorul R, iar al doilea termen descrie căderea de tensiune pe inductorul L.

Facem o schimbare de variabilă și aducem ecuația la forma: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Deoarece unul dintre factorii a, b poate fi ales în mod arbitrar, alegem b astfel încât expresia dintre paranteze să fie egală cu zero:

Rb+Lb'=0.

Separarea variabilelor:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Ținând cont de valoarea aleasă a lui b, ecuația diferențială se reduce la forma

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrarea, obținem

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Obținem expresia pentru curent

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\dreapta)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Valoarea constantei de integrare se găsește din condiția ca la momentul t=0 să nu existe curent în circuit:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

În sfârșit, obținem

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Vezi și

Procese tranzitorii în circuitele electrice

Literatură

Inginerie electrică: Proc. pentru universități / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov - ed. a VII-a, Sr. - M .: Mai înalt. şcoală, 2003. - 542 p.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Link -uri

Metoda clasică de calcul a tranzitorilor _ _ _ _
Metodologie și exemple de calcul al proceselor tranzitorii prin metoda clasică. Arhivat 4 octombrie 2006 la Wayback Machine la http://www.ups-info.ru Arhivat 14 iunie 2008 la Wayback Machine

Metode de calcul a circuitelor electrice
aplicarea directă a regulilor lui Kirchhoff curenți de buclă potenţiale nodale două noduri coagulare Cauera generator echivalent suprapuneri de suprapunere amplitudini complexe secțiuni determinanții circuitului clasic operator