Metoda de aplicare directă a legilor lui Kirchhoff

Metoda de aplicare directă a regulilor lui Kirchhoff pentru calcularea unui circuit electric constă în alcătuirea unui sistem de B ecuații cu B necunoscute (B este numărul de ramuri din circuitul luat în considerare) după două reguli Kirchhoff și soluția ulterioară a acestora.

Descrierea metodei de calcul

Luați în considerare calculul unui circuit electric care nu conține surse de curent . Lanțul în cauză este format din ramuri B și noduri Y. Calculul său se reduce la găsirea de curenți în ramurile B. Pentru a face acest lucru, este necesar să compuneți ( Y - 1) ecuații independente conform primei reguli Kirchhoff și K \u003d ( B - Y + 1) ecuații independente conform celei de-a doua reguli Kirchhoff . Nodurile și contururile corespunzătoare acestor ecuații se numesc independente (adică care conțin cel puțin o ramură care nu aparține altor noduri/contururi).

Pentru a rezolva sistemul compilat de ecuații algebrice liniare , puteți utiliza forma matriceală

AI=BE

Unde

A

și sunt matrici pătrate de coeficienți la curenți și EMF de ordinul B ;

B

eu

și sunt matrice coloane de curenți necunoscuți și FEM date.

E

Soluție de sistem:

I=A^{-1}BE=GE

$A^{{-1}}$	$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatrix}}^{-1}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{ 21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}^{T}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{ 12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}$

- matrice inversă; este determinantul matricei A ; - complemente algebrice ale elementelor (vezi modalități de a găsi matricea inversă ). $\Delta$ $\Delta _{ik}$ $a_{{ik}}$

G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\g_{B1}&g_{B2}&\cdots &g_{BB}\end{bmatrix}}

este matricea conductivităților intrinseci și reciproce (vezi metoda suprapunerii ). $g_{ii)$ $g_{{ik}}$

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\ I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cdots +g_{2B}E_{B};\\\vdots \\I_{B}=g_{B1} E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{matrice}}\right.

este un sistem de ecuații care determină curenții de ramificație.

Adesea, atunci când se calculează circuite prin această metodă, devine necesară compilarea unui număr mare de ecuații și apoi calcularea matricelor de ordin înalt. Prin urmare, în practică sunt folosite și alte metode de calcul.

Un exemplu de utilizare a

Ca exemplu, luați în considerare calculul circuitului, a cărui diagramă este prezentată în figură - conține U \u003d 2 noduri și B \u003d 3 ramuri, adică K \u003d B - Y + 1 \u003d 3 - 2 + 1 \u003d 2 contururi independente (în figură, contururile sunt marcate cu o linie întreruptă - puteți alege orice pereche dintre ele - 1 și 2 , sau 2 și 3 sau 1 și 3 ).

Alegem în mod arbitrar direcțiile pozitive ale curenților de ramificație , , (direcțiile sunt deja marcate în figură). Conform primei legi Kirchhoff, o ecuație independentă ( Y − 1 = 2 − 1 = 1 ) poate fi compusă, de exemplu, pentru nodul a $I_1$ $eu_{2}$ $I_3$

-I_{1}-I_{2}+I_{3}=0

și conform celei de-a doua legi Kirchhoff - două (K = 2) ecuații independente, de exemplu, pentru circuitele 1 și 2

{\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2))

;

{\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3))

Să reprezentăm sistemul acestor trei ecuații sub formă de matrice:

{\begin{matrix}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}}\right.\end{matrix }}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_ {2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_ {2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$	$={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))){\begin{bmatrix}- r_ {2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2} \ \r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end { bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_ {1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3} &r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\ E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=[G][E].$

Acum compunem un sistem de ecuații curente:

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2 }=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_ {2}+g_{33}E_{3},\end{matrice}}\dreapta.

Unde

g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}

;

g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2)

;

g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2}

;

g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2}

;

g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2)

;

g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2}

;

{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))

Calculul circuitelor cu surse de curent

Atunci când se calculează circuite echivalente cu surse de curent , sunt posibile simplificări, deoarece curenții ramurilor cu surse de curent sunt cunoscuți și nu trebuie să fie calculati. Prin urmare, numărul de circuite independente (fără surse de curent), pentru care este necesar să se compună ecuații conform celei de-a doua legi Kirchhoff, este egal cu K \u003d (B - B - Y + 1), unde B este numărul de ramuri cu surse de curent. $_{J}$ $_{J}$

Literatură

Inginerie electrică: Proc. pentru universități / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov - ed. a VII-a, Sr. - M .: Mai înalt. şcoală, 2003. - 542 p.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Metode de calcul a circuitelor electrice
aplicarea directă a regulilor lui Kirchhoff curenți de buclă potenţiale nodale două noduri coagulare Cauera generator echivalent suprapuneri de suprapunere amplitudini complexe secțiuni determinanții circuitului clasic operator