Curbă plată de gradul al patrulea

O curbă plată de gradul al patrulea sau un quartic plat este o curbă algebrică plată de gradul al patrulea . Poate fi determinat printr-o ecuație de gradul al patrulea în două variabile:

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

unde cel puțin unul dintre numerele A, B, C, D, E este diferit de zero. Această ecuație are 15 constante. Cu toate acestea, ecuația poate fi înmulțită cu orice constantă diferită de zero fără a schimba curba. Astfel, printr-o alegere adecvată a constantei de multiplicare, orice coeficient poate fi făcut egal cu 1, lăsând doar 14 constante. Astfel, spațiul cuartic poate fi identificat cu spațiul proiectiv real . De asemenea, din Teorema Curbelor Algebrice a lui Cramer rezultă că există exact o cuartică care trece prin 14 puncte diferite în poziție generală , deoarece o cuartică are 14 grade de libertate . $\mathbb {RP} ^{14}$

Un litru poate avea maxim

patru componente conectate
douăzeci și patru de bitangente
trei puncte duble obișnuite .

Se pot lua în considerare curbele quartice peste alte câmpuri (sau chiar inele ), cum ar fi numerele complexe . În acest din urmă caz se obține suprafețe Riemann care sunt unidimensionale peste C , dar bidimensionale peste R. Un exemplu este quartica Klein . În plus, se pot considera curbe în planul proiectiv , date de polinoame omogene.

Exemple

Diverse combinații ale coeficienților din ecuația de mai sus produc diferite familii importante de curbe, enumerate mai jos.

Lemniscate
- Lemniscate Bernoulli
- Lemniscate Gerono
melcul lui Pascal
Quartic Lurot
Curba Perseus
Squareness
- Lame special quartic
sectiunea torica
curba Trotta

Ampersand (curbă)

Curba ampersand este o curbă plană quartică cu ecuația

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

Curba are genul zero cu trei puncte duble obișnuite pe planul real. [unu]

Bob (curba)

Curba bob este o curbă plană de gradul 4 cu ecuația

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Bob are genul zero. Curba are o singularitate la origine, un punct triplu obișnuit [2] . [3]

Două curbe

O curbă cu dublu-cuspidă este o curbă plată de gradul 4 cu ecuația

(x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

unde a definește dimensiunea curbei. O curbă cu două cuspide are doar două puncte nodale ca singularități și, prin urmare, este o curbă de genul unu [4] .

Arc (curbă)

Un arc este o curbă plană de gradul 4 cu ecuația

x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,

Bant are un punct triplu la x =0, y =0 și, prin urmare, este o curbă rațională a genului zero [5] .

Curba cruciformă

O curbă cruciformă sau încrucișată este o curbă plană de gradul 4 dată de ecuație

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

unde a și b sunt doi parametri care determină forma curbei. Curba cruciformă este conectată prin transformarea pătratică standard x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y cu elipsa și, prin urmare, este o curbă algebrică plană rațională de genul zero. O curbă cruciformă are trei puncte duble în planul proiectiv real în punctele x =0 și y =0, x =0 și z =0, y =0 și z =0. [6] $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1$

Deoarece curba este rațională, poate fi parametrizată prin funcții raționale. De exemplu, dacă a =1 și b =2, atunci ecuațiile

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3)),\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 {2t-2}}

definiți parametrizarea punctelor de pe curbă, cu excepția cazurilor excepționale când numitorul dispare.

Secțiune în spirală

O secțiune spirală poate fi definită ca o curbă bicirculară de gradul al patrulea, simetrică față de axele x și y . Secțiunile spiralate sunt incluse în familia secțiunilor toriceşi conţin familia delemniscateşifamilia de ovale Cassini. Numele provine din cuvântul grecesc σπειρα care înseamnă torus.

În coordonate carteziene, ecuația poate fi scrisă

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

iar în coordonate polare ca

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Trifoi cu trei foi

Un trifoi cu trei foi este o curbă plată de gradul 4

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

Rezolvând ecuația pentru y , obținem următoarea funcție

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2)))){2))},

unde cele două semne sunt independente unul de celălalt, dând până la patru valori y diferite pentru fiecare x . $\p.m$

Ecuația parametrică pentru un trifoi cu trei foi este

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

[7] .

În coordonatele polare ( ), ecuația ia forma $x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)$

r=\cos(3\varphi).\,

Curba este un caz special al trandafirului cu k = 3. Această curbă are un punct triplu la origine (0, 0) și are trei tangente duble.

Note

^ Weisstein , Eric W. Ampersand Curve pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Cundy, Rollett, 1961 , p. 72.
^ Weisstein , Eric W. Bean Curve pe site- ul Wolfram MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. Bicuspid Curve pe site- ul Wolfram MathWorld .
^ Weisstein , Eric W. Bow pe site- ul Wolfram MathWorld .
^ Weisstein , Eric W. Curba cruciformă pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Gibson, 2001 , p. 12, 78.

Literatură

Cundy HM, Rollett AP Modele matematice. — al 2-lea. - Clarendon Press, Oxford, 1961. - P. 72. - ISBN 978-0-906212-20-2 .
Gibson CG Geometria elementară a curbelor algebrice, o introducere la licență. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - P. 12, 78. - ISBN 978-0-521-64641-3 .