Sistemul lagrangian

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 noiembrie 2019; verificările necesită 2 modificări .

În matematică , un sistem lagrangian este o pereche de un pachet neted și o densitate lagrangiană care definește operatorul diferențial Euler-Lagrange care acționează asupra secțiunilor mănunchiului . $(Y,L)$ $Y\la X$ $L$ $Y\la X$

În mecanica clasică , multe sisteme dinamice sunt lagrangiene. Spațiul de configurare al unui astfel de sistem lagrangian este mănunchiul peste axa timpului (în special , dacă cadrul de referință este fix). În teoria clasică a câmpurilor , toate sistemele de câmp sunt lagrangiene. $Q\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $Q=\mathbb {R} \times M$

Densitatea lagrangiană (sau pur și simplu lagrangiană ) de ordin este definită ca -forma , dim , pe varietatea jetului de ordinul secțiunilor fasciculului . Lagrangianul poate fi introdus ca un element al bicomplexului variațional al algebrei gradate diferențiale a formelor exterioare pe varietățile de jet ale fasciculului . Operatorul cofrontier al acestui bicomplex conține un operator variațional , care, acționând asupra , determină operatorul Euler-Lagrange asociat . În ceea ce privește coordonatele de pe fascicul și coordonatele corespunzătoare ( , ) de pe colectorul de jet, operatorul Lagrangian și Euler-Lagrange au forma: $L$ $r$ $n$ $n=$ $X$ $J^{r}Y$ $r$ $Y$ $L$ $O_{\infty }^{*}(Y)$ $Y\la X$ $\delta$ $L$ $\delta L$ $(x^{\lambda},y^{i})$ $Y$ $(x^{\lambda},y^{i},y_{\Lambda}^{i})$ $\Lambda =(\lambda _{1},\ldots,\lambda _{k})$ $|\Lambda |=k\leq r$ $J^{r}Y$ $L$

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda},y^{i},y_{\Lambda}^{i})\,d^{n}x,

\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L} }=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i }^{\Lambda }{\mathcal {L)),

Unde

d_{\Lambda}=d_{\lambda _{1))\cdots d_{\lambda _{k)),\qquad d_{\lambda}=\partial _{\lambda}+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,

indică derivatele totale. De exemplu, operatorul Lagrangian de ordinul întâi și operatorul Euler-Lagrange de ordinul doi iau forma

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda},y^{i},y_{\lambda}^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _ {i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.

Nucleul operatorului Euler-Lagrange definește ecuația Euler-Lagrange . $\delta L=0$

Coomologia bicomplexului variațional definește așa-numita formulă variațională

dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},

Unde

d_{H}\phi =dx^{\lambda}\wedge d_{\lambda}\phi,\qquad \phi \in O_{\infty}^{*}(Y)

este diferența totală și este echivalentul Lepage al Lagrangianului . Prima și a doua teoreme ale lui Noether sunt consecințele acestei formule variaționale. $\Theta _{L}$ $L$

Fiind generalizat la varietăți gradate , bicomplexul variațional descrie sisteme lagrangiene gradate de variabile pare și impare.

Într-o altă variantă, în cadrul calculului de variații sunt introduse ecuațiile Lagrangian, operatorul Euler–Lagrange și ecuațiile Euler–Lagrange .

Vezi și

Literatură

Olver, P. Aplicații ale grupurilor de minciună la ecuații diferențiale, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 ( arXiv:0908.1886 )

Link -uri

Sardanashvily, G. , Formalismul lagrangian gradat, Int. G. Geom. Metode Mod. Fiz. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508 (link indisponibil)