Lema Kalman-Yakubovich-Popov

Lema Kalman-Popov-Yakubovich este unul dintre rezultatele fundamentale în domeniul teoriei controlului legat de stabilitatea sistemelor de control neliniar și optimizarea liniar-quadratică [1] [2] .

Lema are reputația de a fi unul dintre cele mai dificile rezultate din teoria controlului. Există dovezi folosind metodele de algebră , analiză complexă , control optim și programare convexă [3] .

Nume

Lema se găsește în literatură sub diferite denumiri: lema Yakubovich, lema Kalman-Yakubovich, lema Kalman-Yakubovich-Popov (adesea înlocuită cu „lema KYP” în publicațiile în limba engleză ). Cazurile particulare ale acestei afirmații sunt cunoscute ca lema reală pozitivă și lema reală mărginită . V. A. Yakubovich în lucrările sale a numit acest rezultat „teorema frecvenței” [1] .

Formulare

Să notăm mulţimea numerelor pur imaginare , să fie spectrul matricei , să fie matricea de identitate a mărimii şi să fie conjugarea Hermitiană . Fie perechea de matrice și să fie controlabilă . Atunci următoarele afirmații sunt echivalente pentru orice matrice hermitiană : $\Gamma$ $\sigma (A)$ $A$ $E_{n}$ $n\ ori n$ $*$ $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ $B\in \mathbb {C} ^{n\times m)$ $G\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times (n+m))$

Condiția de frecvență a lui Popov este satisfăcută, adică pentru toți $\lambda \in \Gamma \setminus \sigma (A)$

\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)^{*} G\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)\geqslant 0;

Există o matrice hermitiană astfel încât $H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

\left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right) -G\leqslant 0;

Există o soluție pentru ecuația Lurie, adică există matrici și așa că $H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ $h\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times m)$

\left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right) -G=-h^{*}h .

Dacă matricele , și sunt reale, atunci matricele , pot fi alese ca să fie reale. Pentru ca condițiile echivalente corespunzătoare cu inegalități stricte să fie îndeplinite, este suficient să se ceară ca matricea să fie Hurwitz [1] . $A$ $B$ $G$ $H$ $h$ $A$

Variații și generalizări

Folosind o transformare liniar-fracțională , se poate demonstra că lema rămâne adevărată dacă este o dreaptă sau un cerc arbitrar în planul complex [1] . $\Gamma$

Un analog al lemei pentru cazul unui sistem de control discret este lema Kalman-Szegö [1] .

Lema este strâns legată de chestiuni ale teoriei controlului cum ar fi solubilitatea ecuației algebrice Riccati și integritatea procedurii S., este folosit în teoria controlului adaptiv și a sistemelor stocastice [1] .

Conexiunea lemei cu probleme de optimizare liniar-quadratică a servit drept bază pentru crearea versiunilor infinit -dimensionale ale lemei, care ulterior au început să fie utilizate în studiul sistemelor de control descrise de diverse ecuații cu diferențe parțiale [1] .

Generalizarea lemei la cazul câmpurilor ordonate se bazează pe soluția problemei a 17-a a lui Hilbert [3] .

Istorie

Lema a fost formulată și demonstrată pentru prima dată de V. A. Yakubovich în 1962 [4] pentru cazul inegalității stricte de frecvență. Cazul inegalității de frecvență nestrictă și legătura sa cu solubilitatea ecuațiilor Lurie au fost luate în considerare în 1963 de R. Kalman [5] . Ambele articole au tratat sisteme cu intrare scalară. Constrângerea dimensiunii de control a fost ridicată în 1964 de F. R. Gantmakher și V. A. Yakubovich [6] și, independent, de V. M. Popov[7] .

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Gusev, S. V. , Likhtarnikov, A. L. Schiță a istoriei lemei Kalman–Popov–Yakubovich și procedurilor S // Avtomat. si telemecanica . - 2006. - Nr. 11 . - S. 77-121 . (Rusă)
↑ Barabanov, N. E. , Gelig, A. Kh. , Leonov, G. A. , Likhtarnikov, A. L. , Matveev, A. S. , Smirnova, V. B. , Fradkov, A. L. Teorema frecvenței (lema Yakubovici–Kalman) în teoria controlului // Avtomat. si telemecanica . - 1996. - Nr. 10 . - S. 3-40 .
↑ 1 2 Gusev, S. V. Kalman–Popov–Yakubovich lema pentru câmpuri ordonate // Avtomat. si telemecanica . - 2014. - Nr. 1 . - S. 23-41 .
↑ Yakubovich, V.I. Rezolvarea unor inegalități matriceale întâlnite în teoria controlului automat // Dokl. Academia de Științe a URSS . - 1962. - T. 143 , nr 6 . - S. 1304-1307 . (Rusă)
↑ Kalman, RE Lyapunov funcţionează pentru problema lui Lur'e în controlul automat // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 1963. - Vol. 49 , iss. 2 . - P. 201-205 . - doi : 10.1073/pnas.49.2.201 . - Cod biblic . — PMID 16591048 .
↑ Gantmakher, F. R. , Yakubovich, V. I. Absolute stability of nonlinear controlled systems // Proceedings of the II All-Union Congress on Theoretical and Applied Mechanics. 1964. - M .: Nauka , 1966. - S. 30-63 . (Rusă)
↑ Popov, V.M. Hiperstabilitatea și optimitatea sistemelor automate cu mai multe funcții de control // Rev. Roumaine Sci. Teh. Ser. Electrotech. Energetic. - 1964. - T. 9 , nr. 4 . - S. 629-690 .