Teorema lui Gauss

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 februarie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Teorema lui Gauss ( legea lui Gauss ) este una dintre legile de bază ale electrodinamicii și este inclusă în sistemul de ecuații lui Maxwell . Exprimă legătura (și anume, egalitatea până la un coeficient constant) dintre curgerea intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă de formă arbitrară și suma algebrică a sarcinilor situate în interiorul volumului delimitat de această suprafață. Folosit singur pentru a calcula câmpurile electrostatice.

O teoremă similară, de asemenea, una dintre ecuațiile lui Maxwell, există și pentru un câmp magnetic ( vezi mai jos ).

De asemenea, teorema Gauss este adevărată pentru orice câmpuri pentru care principiul suprapunerii și legea lui Coulomb sau analogul său sunt ambele adevărate (de exemplu, pentru gravitația newtoniană). În același timp, este considerată a fi mai fundamentală decât legea Coulomb, deoarece permite, în special, să se derive gradul de distanță [1] în legea Coulomb „de la primele principii”, și să nu-l postuleze (sau nu găsiți-o empiric).

Aceasta poate fi văzută ca semnificația fundamentală a teoremei lui Gauss (legea lui Gauss) în fizica teoretică.

Există analogi (generalizări) teoremei lui Gauss pentru teorii de câmp mai complexe decât electrodinamica.

Teorema lui Gauss pentru puterea unui câmp electric în vid

Formulare generală : fluxul vectorului intensității câmpului electric prin orice suprafață închisă aleasă în mod arbitrar este proporțional cu sarcina electrică închisă în interiorul acestei suprafețe .

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {E}}}=4\pi Q,$	$\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},$

Unde

$\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ este fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă . $S$
$Q$ este sarcina totală conținută în volumul care delimitează suprafața . $S$
$\varepsilon_{0}$ este constanta electrică .

Această expresie este teorema lui Gauss în formă integrală.

Observație : Fluxul vectorului de stres prin suprafață nu depinde de distribuția sarcinilor (dispunerea sarcinilor) în interiorul suprafeței.

În formă diferențială, teorema lui Gauss se exprimă după cum urmează:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Aici , este densitatea de sarcină în volum (în cazul prezenței unui mediu, densitatea totală a sarcinilor libere și legate) și este operatorul nabla . $\rho$ $\nabla$

Teorema lui Gauss poate fi demonstrată ca o teoremă în electrostatică din legea lui Coulomb și principiul suprapunerii ( vezi mai jos ). Formula, însă, este adevărată și în electrodinamică, deși în ea de cele mai multe ori nu acționează ca o teoremă dovedită, ci acționează ca o ecuație postulată (în acest sens și context este mai logic să o numim legea Gauss [2] ). ).

În spațiu-timp curbat, fluxul unui câmp electromagnetic printr-o suprafață închisă este exprimat ca , unde este viteza luminii ; denotă componentele de timp ale tensorului câmpului electromagnetic ; este determinantul tensorului metric ; este un element ortonormal al suprafeței bidimensionale care înconjoară sarcina ; indici și nu se potrivesc între ele. [3] $\Phi _{\mathbf {E} }=c\oint \limits _{S}F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} S_{\kappa }$ $c$ $F^{\kappa 0}$ $g$ $\mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j)$ $Q$ $i,j,\kappa =1,2,3$

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică)

Pentru un câmp într-un mediu dielectric, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă într-un alt mod (în mod alternativ) - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului deplasării electrice printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă din interiorul acestei suprafețe:

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$	$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q,$

Comentariu important

Q din partea dreaptă a acestei ecuații nu este același ca în formularea fundamentală dată mai sus [4] la începutul articolului. Aceasta din urmă este adesea numită „formularea pentru vid”, dar această denumire este pur convențională, este la fel de aplicabilă și în cazul unui mediu dielectric, doar prin Q aici este necesar să înțelegem suma sarcinii libere din interiorul suprafeței. iar sarcina de polarizare (indusă, legată) a dielectricului, adică în ecuația pentru E ar trebui să scrie o altă literă în partea dreaptă: $\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$

Q_{\Sigma }=Q+Q_{b},

Unde

$Q_{b}=\oint \limits _{S}{\mathbf {P}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ - sarcina legata in interiorul suprafetei [5] ,
${\mathbf {P}}$ este vectorul de polarizare dielectrică .

Am folosit aceeași literă în partea dreaptă aici, pur și simplu pentru că o astfel de notație este cea mai comună și deoarece ambele forme ale ecuației sunt rareori folosite împreună, deci nu există confuzie.

În cazul vidului (absența unui mediu dielectric), ambele ecuații pur și simplu coincid, de atunci Q b \u003d 0, în timp ce D \ u003d E (în sistemul SI de unități - sunt proporționale.

Sub formă diferențială:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=\rho .$

Comentariu important

Este important de înțeles că Q și ρ în acest paragraf indică alte mărimi decât în cel precedent: mărimea sarcinilor libere și densitatea sarcinilor libere , adică sarcinile cu excepția celor induse în timpul polarizării mediului dielectric ( în timp ce în paragraful anterior, sarcina totală și sarcina totală de densitate (pentru mai multe detalii, vezi comentariul din acest paragraf puțin mai mare). Aceste valori coincid doar în cazul vidului (absența unui mediu dielectric), când ecuațiile acestui paragraf în sine devin în esență ecuațiile paragrafului anterior.

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=0,

sau sub formă diferenţială

\nabla \cdot {\mathbf {B}}=0.

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” ( monopoli ) care să creeze un câmp magnetic, la fel cum sarcinile electrice creează un câmp electric [6] . Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este (complet) vortex .

Teorema lui Gauss pentru gravitația newtoniană

Pentru puterea câmpului gravitațional newtonian (accelerarea căderii libere), teorema Gauss coincide practic cu cea din electrostatică, cu excepția constantelor (totuși, acestea depind încă de o alegere arbitrară a sistemului de unități) și, cel mai important, semnul [7] :

\Phi _{{\mathbf {g}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {g}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=-4\pi gm,

\nabla \cdot {\mathbf {g}}=-4\pi G\rho ,

unde g este puterea câmpului gravitațional, M este sarcina gravitațională (adică masa) din interiorul suprafeței S , ρ este densitatea masei, G este constanta newtoniană .

Interpretări

În ceea ce privește liniile de forță

Teorema lui Gauss poate fi interpretată în termeni de linii de câmp [8] ale câmpului după cum urmează:

Fluxul unui câmp printr-o suprafață este [9] numărul liniilor de forță care pătrund pe această suprafață. În acest caz, se ia în considerare direcția - liniile de forță care pătrund în suprafață în direcția opusă sunt considerate cu semnul minus.
Liniile de câmp încep sau se termină numai pe sarcini (încep cu sarcini pozitive, se termină pe cele negative), sau pot merge în continuare la infinit. Numărul de linii de forță care emană din sarcină (începând în ea) este egal cu [10] valoarea acestei încărcături (aceasta este definiția sarcinii în acest model). Pentru sarcini negative, totul este la fel, doar sarcina este egală cu minus numărul de linii care intră în ea (se termină pe ea).
Pe baza acestor două prevederi, teorema lui Gauss pare evidentă în formulare: numărul de linii care emană de pe o suprafață închisă este egal cu numărul total de sarcini din interiorul acesteia - adică numărul de linii care au apărut în interiorul acesteia . Desigur, se iau în considerare semnele, în special, o linie care începe în interiorul suprafeței cu o sarcină pozitivă se poate termina cu o sarcină negativă și în interiorul acesteia (dacă există), atunci nu va contribui la curgerea prin această suprafață. , din moment ce sau chiar înainte de a nu ajunge, sau de a ieși, apoi intră înapoi (sau, în general, traversează suprafața de un număr par de ori în mod egal în direcțiile înainte și opuse), care, însumată ținând cont de semn, va contribui zero la flux. Același lucru se poate spune și pentru liniile care încep și se termină în afara unei suprafețe date - din același motiv, vor contribui, de asemenea, cu zero la curgerea prin aceasta.

În ceea ce privește curgerea unui fluid incompresibil

Teorema Gauss este valabilă pentru câmpul de viteză al unui fluid incompresibil. Acest fapt ne permite să folosim fluxul unui fluid incompresibil ca analogie (model formal), ceea ce face posibilă clarificarea semnificației acestuia și vizualizarea conținutului său matematic. [unsprezece]

Chiar și terminologia analizei vectoriale folosită în electrodinamică (și în special în formularea teoremei Gauss) s-a format aproape în întregime sub influența acestei analogii. Este suficient să evidențiem termeni precum sursa câmpului (în raport cu sarcina) sau fluxul prin suprafață, care corespund pe deplin și exact în analogia considerată conceptelor:

sursa lichidului (în sensul locului în care apare lichidul și al măsurării cantitative a apariției acestuia - volumul care apare pe unitatea de timp),
debit (în sensul cantității de lichid care trece prin suprafață pe unitatea de timp).

În ceea ce privește curgerea unui fluid incompresibil, teorema lui Gauss este formulată după cum urmează: Curgerea fluidului care emană de pe o suprafață închisă este egal cu suma surselor din interiorul acestei suprafețe . Sau, mai formal: curgerea vectorului viteza fluidului printr-o suprafață închisă este egal cu suma surselor din interiorul acestei suprafețe . (În esență, aceasta este o versiune integrală a ecuației de continuitate pentru un fluid incompresibil, care exprimă conservarea masei fluidului, ținând cont de constanța densității acestuia).

În această analogie formală, intensitatea câmpului este înlocuită cu debitul fluidului, iar sarcina este înlocuită cu sursa de fluid (sarcina negativă este înlocuită cu o „sursă negativă” - „scurgere”).

Teorema lui Gauss ca definiție a sarcinii

Teorema Gauss [12] poate fi considerată ca o definiție a sarcinii (magnitudinei).

Deci, pentru o sarcină punctiformă, este evident că fluxul intensității câmpului prin orice suprafață este egal cu fluxul printr-o sferă mică (infinit mică) care înconjoară această sarcină. Apoi, acesta din urmă (până la un factor constant, în funcție de alegerea noastră arbitrară a unităților) poate fi ales ca definiție a mărimii acestei sarcini.

În apropierea încărcăturii (infinit aproape de ea), propriul său câmp, evident, aduce o contribuție covârșitoare la fluxul printr-o sferă infinit de mică (deoarece câmpul crește la infinit odată cu scăderea distanței). Aceasta înseamnă că câmpurile rămase (generate de alte taxe) pot fi neglijate. Apoi se poate observa că această definiție este de acord cu cea obișnuită (prin legea lui Coulomb).

În fizica modernă, se presupune de obicei că definiția prin legea Gauss este mai fundamentală (la fel și legea Gauss însăși în comparație cu legea Coulomb - vezi mai jos).

Teorema lui Gauss și legea lui Coulomb

Teorema lui Gauss și legea lui Coulomb sunt strâns legate, atât din punct de vedere formal, cât și fizic. Există o afirmație simplificată că teorema Gauss este o formulare integrală a legii Coulomb, sau invers, că legea Coulomb este o consecință a teoremei Gauss (legea).

De fapt, legea lui Gauss nu poate fi dedusă numai din legea lui Coulomb, deoarece legea lui Coulomb dă doar câmpul unei sarcini punctiforme. Pentru a demonstra teorema Gauss, este nevoie nu numai de legea Coulomb, ci și de principiul suprapunerii [13] .

Legea lui Coulomb nu poate fi derivată numai din legea lui Gauss, întrucât legea lui Gauss nu conține informații despre simetria câmpului electric [14] . Pentru a demonstra legea lui Coulomb, este nevoie nu numai de legea lui Gauss, ci și de o afirmație suplimentară (de exemplu, despre simetria sferică a câmpului sau despre egalitatea curlului câmpului la zero).

Care dintre ele este considerat un postulat și care este o consecință depinde de ce axiomatizare pentru electrodinamică (sau electrostatică, dacă ne restrângem la ea) o alegem; formal, una sau alta alegere este practic egală [15] , iar în cazul electrostaticei, acest lucru este complet adevărat. Astfel, alegerea unuia sau celuilalt ca bază pentru construirea unei teorii este o chestiune a alegerii noastre arbitrare.

Cu toate acestea, axiomatizarea Gauss are avantajul că legea Gauss nu conține niciun parametru arbitrar (cum ar fi gradul de distanță -2 în legea Coulomb), gradul de distanță în legea Coulomb ia naștere automat din dimensiunea spațiului.

Cu toate acestea, ar trebui făcută o avertizare. Dacă este naiv să presupunem că legea lui Coulomb și teorema lui Gauss sunt echivalente, atunci putem argumenta după cum urmează: legea lui Coulomb rezultă din teorema lui Gauss, ecuațiile lui Maxwell pentru cazul electrostaticii rezultă din legea lui Coulomb, i.e. A doua ecuație a lui Maxwell (aproximativ curba câmpului electric zero) decurge din teorema Gauss și este redundantă. De fapt, atunci când derivăm legea Coulomb din teorema Gauss (vezi mai jos), folosim suplimentar simetria sferică a câmpului unei sarcini punctuale și trebuie să introducem și principiul suprapunerii, în timp ce ecuațiile lui Maxwell sunt autosuficiente.

Din punct de vedere istoric, legea lui Coulomb a fost descoperită mai întâi empiric. În acest sens (istoric), teorema lui Gauss este o consecință a acesteia. În legătură cu aceasta se numește teoremă, deoarece a apărut inițial ca teoremă.

Se arată direct mai jos cum legea lui Coulomb și legea lui Gauss pot fi obținute în cadrul electrostaticei [16] una de la cealaltă.

Legea lui Coulomb ca o consecință a legii lui Gauss

Pornim de la teorema Gauss, scriind-o în unități SI [17] , „Fluxul vectorului de stres prin suprafață este proporțional cu sarcina conținută în această suprafață”: $\Phi _{{E,S}}$ $E$ $S$

\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

Pentru a deriva Legea lui Coulomb, vom lua în considerare o singură sarcină punctuală într-o suprafață închisă S , deci Q aici va fi mărimea acestei sarcini.

Calculăm același flux prin integrare directă pe suprafață. Vom presupune că afirmația despre simetria sferică a câmpului unei sarcini punctiforme în raport cu poziția sarcinii este adevărată (Experiența arată că este exact adevărat doar pentru o sarcină în repaus). Din aceasta concluzionăm că câmpul electric va fi direcționat direct din sarcină, iar valoarea acestuia va fi aceeași pentru orice puncte situate la aceeași distanță de sarcină. De aici rezultă că fluxul total va fi calculat cel mai ușor dacă alegem o sferă centrată în sarcină ca suprafață S. Într-adevăr, intensitatea câmpului E va fi atunci ortogonală la dS peste tot , iar valoarea absolută a vectorului E (o vom nota cu E ) va fi aceeași peste tot pe această sferă și poate fi scoasă din semnul integral. Asa de:

\Phi _{{E,S}}=\oint \limits _{S}{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\oint \limits _{S}EdS=E\oint \limits _ {S}dS=ES.

Avem:

{\begin{cases}\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\\\Phi _{{E,S}}=ES\end{cases }}

De aici:

ES={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

Rămâne să înlocuim aici aria sferei și să rezolvăm ecuația pentru E. $S=4\pi r^{2}$

Atunci obținem:

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}},

adică legea lui Coulomb.

Teorema lui Gauss ca o consecință a legii lui Coulomb

Dovada elementară

O demonstrație elementară este construită în doi pași: demonstrarea teoremei pentru cazul unei sarcini punctuale folosind considerații geometrice și apoi aplicarea principiului suprapunerii, în urma căruia teorema se dovedește a fi demonstrată pentru un număr arbitrar de sarcini punctiforme ( și deci în cazul general).

Pornim de la legea lui Coulomb:

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\mathbf e}_{r}

unde este vectorul unitar în direcția vectorului rază tras de la sarcină (unde am plasat originea) până la punctul în care se măsoară intensitatea câmpului , r este modulul vectorului r , adică distanța de la sarcină până în acest punct. (În această secțiune, vom folosi doar sistemul CGS , adică constanta Coulomb este egală cu unu. Pentru a trece la sistemul SI , adăugați pur și simplu un factor. În mod similar, tranziția la orice alt sistem de unități va diferi doar în constanta Coulomb.) ${\mathbf e}_{r}$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf E}({\mathbf r})$

Pentru o singură sarcină punctuală în interiorul unei suprafețe

Să notăm suprafața prin care debitul E trebuie calculat cu litera S . Presupunem că sarcina noastră q se află în interiorul acestei suprafețe.

Să înconjurăm încărcătura cu o altă suprafață - o sferă S 0 cu un centru în sarcină și o rază R 0 atât de mică încât se află în întregime în interiorul suprafeței S . Să calculăm debitul prin S 0 :

\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Alegem un mic (infinit mic, mic nu numai ca mărime, ci și „compact”, adică astfel încât, să zicem, să poată fi acoperit de un con circular cu un unghi solid și mic), unghi solid cu un vârf în încărca. $\omega$

Să demonstrăm că curgerea prin aria suprafeței S , tăiată de acest unghi solid , este egal cu curgerea prin aria , tăiată de aceasta din sfera S 0 . Pentru a face acest lucru, vom arăta asta $\Phi _{{S,\omega }}\$ $\omega$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$ $S_{{0,\omega }}$

1. - curgerea prin zona tăiată printr-un unghi solid din suprafața S este egal cu curgerea prin zona tăiată printr-un unghi solid din orice plan perpendicular pe razele aflate în interior , care, la un unghi solid infinit de mic , sunt aproape paralele, diferă în direcție infinit puțin, ceea ce înseamnă că aria va fi simultan perpendiculară (mai strict vorbind, aproape perpendiculară) pe toate simultan.

\Phi _{{S,\omega }}\ =\Phi _{{S_({\perp ,\omega }}}}\

S_{\omega }

\omega

S{\perp ,\omega },

\omega

\omega

2. - în unghiul solid , curgerea prin zona perpendiculară pe raze este egală cu curgerea prin zona sferei .

\Phi _{{S\perp ,\omega }}=\Phi _{{S_{0},\omega }}.

\omega

S_{0}

Prima este dovedită prin observația că fluxul printr- o zonă mică dS poate fi reprezentat ca Și în raport cu cazul nostru, aceasta înseamnă egalitatea și . $d\Phi ={\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS))$ $d\Phi =E(dS)_{\perp }$ $(dS)_{\perp }$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S,\omega }}$

Al doilea poate fi văzut din considerente de asemănare și legea lui Coulomb (notând r distanța de la sarcină până la intersecția c S , vedem că raportul ariilor și este egal cu , în timp ce , adică reciproca numărului, ca un rezultat din care produsele lor sunt aceleași, iar acestea sunt fluxurile și , a căror egalitate trebuia dovedită. $\omega$ $S{\perp ,\omega }$ $S_{{0,\omega }}$ $r^{2}/R_{0}^{2}$ $E(r)/E(R_{0})=R_{0}^{2}/r^{2}$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$

Dacă intersectează S în mod repetat (ceea ce este posibil dacă acesta din urmă este suficient de complicat), toate aceste argumente, pe scurt, se repetă de câte ori există intersecții, iar egalitatea în valoare absolută a curgerii prin fiecare astfel de element al suprafeței S. este dovedit . Și ținând cont de semnele în timpul adunării (evident alternează; în total, numărul de intersecții ar trebui să fie impar), răspunsul final se dovedește a fi același ca și în cazul unei singure intersecții. $\omega$

Și întrucât egalitatea acestor fluxuri este satisfăcută pentru orice mic , adică pentru fiecare element corespondent S și S 0 , între care se stabilește o corespondență unu-la-unu și în acest fel este posibilă împărțirea întregii sfere S. 0 fără rest în astfel de elemente, atunci egalitatea este valabilă și pentru fluxurile prin suprafețe complete (care sunt pur și simplu sume de fluxuri prin elementele descrise ale suprafețelor S și S 0 ). (Deoarece suprafața S este închisă, fiecare element de pe sferă are un element corespunzător pe S - sau un număr impar de elemente, așa cum este descris mai sus, care pot fi combinate, deoarece se ia în considerare fluxul prin toate acestea). $\omega$

Deci, am demonstrat că pentru o sarcină q în interiorul unei suprafețe închise S , curgerea prin aceasta

\Phi _{S}=\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Pentru o singură sarcină punctuală în afara suprafeței

Raționament destul de asemănător, efectuat pentru cazul în care q se află în afara ariei delimitate de suprafața S , luând în considerare semnul la calcularea debitului prin fiecare sit, rezultă un debit de zero. (unghiul solid mic va traversa acum S de un număr par de ori, fluxurile vor fi egale în valoare absolută, dar opuse în semn) [18] .

Însumarea fluxurilor elementare se efectuează în același mod ca în paragraful 1, precum și calculul acestora.

Deci, pentru o sarcină în afara unei suprafețe închise, fluxul prin aceasta este zero .

Pentru orice număr de taxe

Pasul final este simplu. Constă în aplicarea principiului suprapunerii.

Dacă pentru fiecare sarcină punctiformă , câmpul creat de aceasta (când nu sunt prezente alte sarcini) creează un flux prin suprafață care satisface teorema Gauss (adică pentru fiecare sarcină în interiorul suprafeței și 0 pentru fiecare în afara suprafeței), apoi debitul din câmpul total ${\mathbf E}_{i}$ $\Phi _{i}=4\pi q_{i}$

\Phi =\int \limits _{S}(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{3}+\dots )\cdot \mathbf {dS} =\int \limits _{S}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{3}\cdot \mathbf {dS} +\dots =\Phi _{1}+\Phi _{2}+\Phi _{3}+\puncte

este egală cu suma fluxurilor create de fiecare sarcină în absența celorlalte, este pur și simplu egală cu

\Sigma \Phi _{i}=4\pi \Sigma q_{i},

unde însumarea este doar peste sarcinile din interiorul suprafeței (fiecare dintre cele din exterior contribuie cu 0).

Teorema a fost demonstrată.

Dovada prin formula Gauss-Ostrogradsky

Această dovadă este mai formală.

1. Pornim din nou din legea Coulomb (în această secțiune vom folosi sistemul CGS și, pentru certitudine, vom vorbi despre câmpul teoremic E , și nu D ):

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {{\mathbf r}}{r}}.

2. Câmpul Coulombian satisface forma diferențială a legii lui Gauss:

\nabla \cdot {\mathbf E}=4\pi \rho .

Acest lucru poate fi verificat [19] prin substituirea directă [20] a formulei (1) în (2).

3. Pe baza principiului suprapunerii, credem că câmpul creat de multe sarcini satisface și această ecuație diferențială (reținând în trecere că această ecuație este liniară, și de aceea este aplicabil principiul suprapunerii).

4. Folosind formula Gauss-Ostrogradsky , obținem imediat:

4\pi Q=\int \limits _{V}4\pi \rho dV=\int \limits _{V}\nabla \cdot {\mathbf E}dV=\oint \limits _{{\partial V} }{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\Phi _{E}

Teorema a fost demonstrată.

Aplicarea teoremei lui Gauss

Fiind, împreună cu ecuația de circulație nulă a câmpului electric, ecuația de bază a câmpului electrostatic , teorema Gauss, împreună cu expresia câmpului electric vectorial în funcție de potențialul său scalar, conduce la ecuația Poisson - principala și singura ecuatie diferentiala a teoriei clasice pentru potentialul electrostatic .

În electrodinamică, teorema lui Gauss (legea lui Gauss) rămâne de asemenea (complet în aceeași formă) una dintre ecuațiile principale - una dintre cele patru ecuații Maxwell .

În unele situații, teorema lui Gauss poate fi utilizată pentru a calcula direct și ușor câmpul electrostatic direct. Acestea sunt situații în care simetria problemei ne permite să impunem astfel de condiții suplimentare asupra intensității câmpului electric încât, împreună cu teorema Gauss, aceasta este suficientă pentru un calcul elementar direct (fără a folosi cele două metode generale uzuale - rezolvarea unei diferențiale parțiale). ecuația sau integrarea frontală a câmpurilor coulombiane pentru sarcini punctiforme elementare) .

În acest fel, folosind teorema Gauss, legea Coulomb în sine poate fi derivată ( vezi mai sus ).

Exemple specifice ale unei astfel de aplicații a teoremei Gauss sunt discutate mai jos.

Ele folosesc următoarele mărimi și notații:

Densitatea de încărcare în vrac

\rho ={\frac {dq}{dV}},

unde este elementul de volum (infinit mic), $dV$

Densitatea sarcinii de suprafață

\sigma ={\frac {dq}{dS}},

unde este un element de suprafață (infinit mic). $dS$

Densitatea de sarcină liniară

\lambda ={\frac {dq}{dl}},

unde este lungimea unui segment infinitezimal. (Prima este folosită pentru sarcinile distribuite continuu pe volum, a doua pentru cele distribuite pe suprafață, a treia pentru cele distribuite de-a lungul unei linii unidimensionale (curbă, linie dreaptă). $dl$

Calculul intensității câmpului unei distribuții de sarcină simetrică sferic

Modul de calcul folosind teorema Gauss pentru orice distribuție de sarcină simetrică sferic în general este cel descris mai sus pentru cazul unei sarcini punctiforme (vezi paragraful despre legea lui Coulomb ).

Remarcăm aici doar în legătură cu sursele non-punctuale cu simetrie sferică că (toate acestea sunt o consecință a aplicării metodei descrise acolo):

O sarcină sferică simetrică cu un gol sferic concentric (sau o regiune neîncărcată) în mijloc nu creează un câmp în interiorul acestui gol (intensitatea câmpului acolo este zero).
În general, câmpul de la o distanță r de centru este creat doar de acele sarcini care sunt mai adânci față de centru. Acest câmp poate fi calculat conform legii coulombiane: , doar aici Q trebuie înțeles ca sarcina totală a unei regiuni sferice cu raza r (ceea ce înseamnă că dependența de r diferă în cele din urmă de cea coulombiană, deoarece Q crește odată cu creșterea lui r , cel puțin până când r nu este mai mare decât raza întregii regiuni încărcate - dacă este finit la rândul său). $E=KQ/r^{2}$
Pentru r , mai mare decât raza regiunii încărcate (dacă este finită), cea mai comună lege a lui Coulomb este îndeplinită (ca pentru o sarcină punctiformă). Aceasta explică, de exemplu, de ce legea Coulomb obișnuită funcționează pentru bile, sfere, planete încărcate uniform, cu o structură aproape de simetrică sferic chiar și lângă suprafața lor (de exemplu, de ce lângă suprafața Pământului câmpul gravitațional este suficient de aproape de câmpul de o masă punctiformă concentrată în centrul Pământului).
Într-un caz special interesant al unei bile încărcate uniform, câmpul ei electric (sau gravitațional) se dovedește a fi proporțional cu distanța până la centrul bilei. [21]

Calculul intensității câmpului unui plan infinit

Luați în considerare câmpul creat de un plan infinit încărcat uniform cu aceeași densitate de sarcină la suprafață peste tot . Imaginează-ți mental un cilindru cu generatoare perpendiculare pe planul încărcat și baze ( fiecare zonă) situate simetric față de plan (vezi figura). $\sigma$ $\Delta S$

Din cauza simetriei:

Toți vectorii intensității câmpului (inclusiv și ) sunt perpendiculari pe planul încărcat: într-adevăr, datorită simetriei de rotație a problemei, vectorul intensității câmpului trebuie să se transforme în sine pentru orice rotație în jurul axei perpendiculare pe plan, iar acest lucru este posibil pentru un vector diferit de zero numai dacă este perpendicular pe plan . Din aceasta rezultă (printre altele) că fluxul intensității câmpului prin suprafața laterală a cilindrului este egal cu zero (deoarece câmpul este îndreptat peste tot tangenţial la această suprafață). $e'$ $e''$
$E'=E''=E$ .

Curgerea vectorului de tensiune este egală (datorită (1)) cu curgerea numai prin bazele cilindrului, iar acesta, datorită faptului că și sunt perpendiculare pe aceste baze și datorită (2), este pur și simplu . $e'$ $e''$ $2E\Delta S$

Aplicând teorema Gauss și ținând cont de , obținem (în sistemul SI ): $Q=\sigma \Delta S$

2E\Delta S={\frac {\sigma \Delta S}{\varepsilon _{0}}},

Din ce

E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}},

În sistemul CGSE , toate argumentele sunt complet analoge (până la coeficienți constanți), iar răspunsul este scris ca $E=2\pi \sigma .$

Calculul intensității câmpului unui filament infinit

Să considerăm câmpul creat de un filament rectiliniu infinit cu o densitate de sarcină liniară egală cu . Să fie necesar să se determine intensitatea creată de acest câmp la distanță de fir. Să luăm ca suprafață gaussiană un cilindru cu o axă care coincide cu firul, raza și înălțimea . Apoi, curgerea tensiunii prin această suprafață, conform teoremei Gauss, este după cum urmează (în unități SI ): $\lambda$ $R$ $R$ $\Delta l$

\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0}}}.

Din cauza simetriei

vectorul intensității câmpului este îndreptat perpendicular pe filament, direct departe de acesta (sau direct spre acesta).
modulul acestui vector este același în orice punct de pe suprafața cilindrului.

Apoi, fluxul de intensitate prin această suprafață poate fi calculat după cum urmează:

\Phi _{{\mathbf {E}}}=\sum _{i}\Delta S_{i}E_{i}=E\sum _{i}\Delta S_{i}=ES=E2\pi R \Delta l.

Se ia în considerare doar aria suprafeței laterale a cilindrului, deoarece fluxul prin bazele cilindrului este zero (datorită direcției E tangențial la acestea). Echivalând cele două expresii obținute pentru , avem: $\Phi _{{{\mathbf E}}}$

{\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0))}=E2\pi R\Delta l,

E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}R}}.

(În sistemul GHS , răspunsul este: ). $E=2\lambda /R$

Alte sarcini

Metoda descrisă este aplicabilă și pentru rezolvarea altor probleme.

În primul rând, la fel ca și pentru simetria sferică a problemei, este posibil să se calculeze nu numai câmpul unei sarcini punctiforme, ci și alte surse de astfel de simetrie, deci este valabil și pentru sursele de simetrie cilindrică (se poate calcula cu ușurință câmpul nu numai al unui fir infinit, ci și al unui cilindru infinit - atât în exterior, cât și în interiorul acestuia, țevi etc.), precum și pentru sursele de simetrie translațională bidimensională (este posibil să se calculeze nu numai câmpul a unui plan subțire, dar și, de exemplu, câmpul unui strat plat gros).

Mai mult, probleme similare pot fi rezolvate nu numai pentru o dimensiune spațială egală cu trei, ci și pentru o dimensiune spațială mai mare sau mai mică (în principiu, orice). Acest lucru poate fi important în termeni teoretici. De exemplu, rezultatul evident al unei astfel de abordări este afirmația că în legea lui Coulomb în spațiul necurbat n -dimensional r intră în puteri de -(n-1), iar local (pentru r mic ) acest lucru este valabil și pentru spatii curbate.

Mai mult, teorema Gauss face posibilă în unele cazuri calcularea cu ușurință a câmpului electrostatic (sau similar) nu numai în spațiul plat, ci și în spațiul cu curbură. Un exemplu este problema găsirii unui analog al legii lui Coulomb pentru un spațiu bidimensional, care este suprafața unei sfere (soluția este ușor de găsit și, evident, diferă de legea obișnuită a lui Coulomb) [22] .

Consecințele teoremei lui Gauss

O consecință a teoremei lui Gauss este teorema lui Earnshaw .
O altă consecință a teoremei Gauss este faptul că, în cazul static, densitatea sarcinilor în exces (adică necompensate) în interiorul conductorului este zero. Sarcinile în exces pot apărea pe suprafața conductorului doar într-un strat subțire (de fapt, grosimea acestuia este de aproximativ una sau două distanțe interatomice) [23] . Strict vorbind, acest lucru este adevărat în absența altor forțe (neelectrostatice) care acționează asupra sarcinilor. Dacă aceste forțe (de obicei se numesc forțe externe) sunt luate în considerare, atunci chiar și în interiorul conductorilor poate exista un câmp electric. De exemplu, într-un câmp gravitațional, ionii mai grei dintr-o soluție vor avea o concentrație mai mare la fundul soluției, în timp ce cei mai ușoare vor avea tendința de a crește (datorită forței lui Arhimede ). Câmpul electric extrem de mic rezultat va preveni o astfel de separare gravitațională a sarcinilor. Acest efect poate fi semnificativ pentru sistemele coloidale , unde există o sarcină mică pe o particulă masivă în comparație cu soluția, iar alte particule cu același semn de sarcină ca și particulele coloidale sunt absente. De asemenea, această consecință este complet falsă pentru microcosmos, unde forțele mecanice cuantice acționează asupra electronilor. De exemplu, în fotocelulele solare semiconductoare, câmpul electric este cel care separă electronii și „găurile” care apar în perechi în timpul absorbției luminii ( fotodisocierea ). Efectul Peltier , pe care se bazează acțiunea termocuplurilor, este un exemplu viu al prezenței unui câmp electrostatic în interiorul unui conductor (în zona de contact a două metale diferite) .

Vezi și

Formula Ostrogradsky

Note

↑ Și vă permite să faceți acest lucru nu numai pentru spațiul tridimensional, ci și pentru orice dimensiune a spațiului care poate fi întâlnită în teorie.
↑ Deși în practică, mai ales în vorbirea colocvială, distincția în utilizarea acestor termeni nu este adesea făcută.
↑ Fedosin, SG Despre reprezentarea covariantă a ecuațiilor integrale ale câmpului electromagnetic // Progress In Electromagnetics Research C : jurnal. - 2019. - Vol. 96 . - P. 109-122 . - doi : 10.2528/PIERC19062902 . - Cod . - arXiv : 1911.11138 . // Despre reprezentarea covariantă a ecuațiilor integrale ale câmpului electromagnetic Arhivat 22 mai 2021 la Wayback Machine .
↑ Aici, pentru concizie, dăm din nou doar în GHS .
↑ Prezența sa se explică calitativ prin faptul că atunci când mediul dielectric este polarizat, dipolii care îl alcătuiesc sunt orientați astfel încât unii dintre ei să intersecteze suprafața, iar în interiorul acesteia se află capetele dipolilor de același semn, care creează o sarcină suplimentară „legată” Q b în interiorul acesteia .
↑ Dacă au existat monopoluri magnetice (sau dacă există efectiv și vor fi descoperite), ecuațiile date ar fi (sau ar trebui să fie): $\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q_{m} ,$ $\nabla \cdot {\mathbf {B}}=\rho _{m},$ unde este sarcina magnetică (sarcina monopolurilor magnetice) și densitatea sarcinii magnetice. Printre altele, nimic nu interzice a considera încărcăturile magnetice pur formal, în spiritul teoremei foii magnetice a lui Ampere , atunci când este convenabil pentru rezolvarea unei probleme; în acest caz, fluxul creat de sarcinile magnetice introduse formal satisface și ecuațiile date aici. În acest caz, ecuația lui Maxwell despre legea inducției electromagnetice se va schimba și ea. (Este dată forma ecuațiilor într-un sistem complet raționalizat de unități; în funcție de alegerea unui anumit sistem de unități, un factor constant poate apărea în partea dreaptă, de exemplu, în sistemul obișnuit de unități gaussian, factorul obișnuit căci va apărea acolo ). $Q_{m},\rho _{m}$ $4\pi$
↑ Semnul minus apare datorită faptului că acesta este semnul în legea gravitației universale , un analog al legii lui Coulomb din teoria gravitației a lui Newton.
↑ O astfel de interpretare istoric se întoarce, aparent, la Faraday.
↑ Sau proporțional cu acesta cu un coeficient constant (care este același, deoarece depinde doar de specificația condiționată a modelului).
↑ Sau proporțional, în funcție de unitățile de măsură utilizate și de convenția condiționată a implementării modelului.
↑ Din punct de vedere istoric, această analogie a avut o importanță semnificativă pentru Maxwell și a fost aplicată intens în cursul dezvoltării ulterioare a electrodinamicii.
↑ Pentru acele teorii și domenii când este îndeplinită, adică, de exemplu, pentru electrodinamică.
↑ „... o puternică teoremă „integrală”-corolar al legii lui Coulomb și al principiului suprapunerii – teorema Gauss.” A.V. Zoteev, A.A. Sklyankin. Prelegeri la cursul de fizică generală. Mecanica. electricitate și magnetism. Tutorial. - Editura Universității de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov, filiala Universității de Stat din Moscova din Baku, 2014. - 242 p. Citat la p.99
↑ „Cu alte cuvinte, legea lui Gauss singură nu este o condiție suficientă pentru simetria câmpului sursă punctuală implicată în legea lui Coulomb” Purcell E. Berkeley Curs in Physics (în 5 volume). T.2: Electricitate și magnetism. Pe. din engleza. T.2. 1971. 448 p. Notă la p.42
↑ Axiomatizarea electrodinamicii, în care legea lui Coulomb este primară, face posibilă obținerea unei concluzii despre validitatea ecuațiilor lui Maxwell - inclusiv teorema lui Gauss - pentru mișcările uniforme ale sarcinilor, dar necesită un postulat suplimentar privind extinderea acestor ecuații la cazul mișcărilor accelerate, în timp ce tranziția inversă de la ecuațiile lui Maxwell la legea lui Coulomb nu necesită ipoteze suplimentare. În acest sens, aceste două tipuri de axiomatizări nu sunt chiar simetrice (și legea lui Coulomb apare împreună cu câteva postulate suplimentare), ceea ce, totuși, nu face ca aceste axiomatizări să nu fie echivalente.
↑ Aici trebuie să ne limităm la cadrul electrostaticei pentru că legea lui Coulomb ca atare are loc numai în cadrul ei.
↑ Acest lucru pare să fie metodologic mai potrivit pentru acest paragraf pentru acest paragraf decât, să zicem, utilizarea unui GHS neraționalizat .
↑ Ca urmare, sfera S 0 nici măcar nu este necesară în acest caz.
↑ Puteți ghici că ecuația ar trebui să fie exact așa, de exemplu, din analogia cu curgerea unui lichid. Adevărat, o astfel de analogie demonstrează imediat întreaga teoremă, dar această demonstrație pierde detaliile matematice pe care am dori să le urmărim, așa că ne limităm la a folosi această analogie doar ca indiciu euristic (dacă ne interesează deloc această întrebare; în caz contrar). , o simplă verificare computațională despre care este menționat în textul principal).
↑ De exemplu, scriind expresia (1) pentru legea lui Coulomb explicit în coordonate carteziene, după care rămâne doar să luăm derivatele față de x , y și z și să le însumăm.
↑ Acest câmp poate fi măsurat dacă se dorește, dacă există un puț subțire în minge sau dacă mingea este lichidă, atunci este ușor să pătrunzi în el. Astfel, o forță acționează asupra corpului în interiorul unei astfel de bile ca într-un oscilator armonic , iar dacă bila este lichidă, adică nu interferează cu mișcarea liberă a corpului de testare în nicio direcție, atunci avem un trei- oscilator armonic dimensional.
↑ Poate părea că ultima sarcină este pur abstractă, dar de fapt este ușor de implementat în practică: este suficient să luați un strat sferic subțire de lichid conducător - de exemplu, între pereții sferici izolatori - sau doar un balon de săpun; câmpul electric dintr-un astfel de strat va corespunde situației descrise. De asemenea, este posibil să se ia în considerare un câmp magnetic într-un strat subțire sferic gol, închis între pereții supraconductori concentrici; un astfel de sistem implementează problema descrisă chiar și pentru un câmp magnetic.
↑ I. E. Herodov. Electromagnetismul: legi de bază. - Ed. a VII-a - M . : Binom. Laboratorul de cunoștințe., 2009. - S. 46-47.

Literatură

Matveev A. N. Electricitate și magnetism: manual. - M .: Şcoala superioară, 1983. - 463 p., ill. și edițiile ulterioare.
Sivukhin DV Curs general de fizică. — M. . - T. III. Electricitate. - §§ 5 - 8, 13, 53.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Britannica (online)