Matricea Pascal

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , în special în teoria matricelor și combinatorică , matricea Pascal este o matrice infinită ale cărei elemente sunt coeficienți binomiali . Există trei opțiuni pentru aranjarea elementelor în matrice: sub formă de matrice triunghiulară superioară , triunghiulară inferioară sau simetrică . Constrângerile 5×5 ale unor astfel de matrici au forma:

Matricea triunghiulară superioară:

matricea triunghiulară inferioară

matricea simetrică

Aceste matrice satisfac relaţia S n = L n U n . De aici este ușor de observat că toate cele trei matrice au un determinant unitar , deoarece determinantul matricelor triunghiulare L n și U n este egal cu produsul elementelor diagonale ale acestora. Cu alte cuvinte, matricele S n , L n , și U n sunt unimodulare . Urma matricelor L n și U n este egală cu n .

Elementele matricei Pascal simetrice au forma:

Echivalent:

Astfel, urma matricei S n este

în funcție de n care formează șirul: 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... secvența A006134 în OEIS .

Clădire

Matricea Pascal poate fi construită luând exponentul unei matrice subdiagonale sau supradiagonale de un tip special. Următorul exemplu construiește matrice 7×7, dar această metodă funcționează pentru orice matrice n × n Pascal. (Punctele denotă elemente nule.)

Este important de reținut că nu se poate pune pur și simplu exp( A )exp( B ) = exp( A  +  B ) pentru n × n matrice A și B , o astfel de egalitate este valabilă numai atunci când AB = BA (adică atunci când matricele naveta A și B ). În construcția de mai sus a matricelor Pascal simetrice, matricele supradiagonale și subdiagonale nu comută. Astfel, simplificarea (posibil) așteptată care implică suma matricelor nu poate fi realizată.

O proprietate utilă a matricelor subdiagonale și supradiagonale utilizate în această construcție este nulpotența lor , adică atunci când sunt ridicate la o putere întreagă suficient de mare, ele degenerează într- o matrice zero . (Consultați matricea de deplasare pentru detalii suplimentare.) Deoarece matricele de deplasare generalizate n × n utilizate aici devin zero atunci când sunt ridicate la puterea lui n , numai primul n  + 1 termen al seriei infinite trebuie luat în considerare atunci când se calculează exponentul matricei la obține rezultatul exact.

Opțiuni

Variații interesante pot fi obținute prin modificări evidente ale matricelor PL 7 din care este luat exponentul.

Primul exemplu de mai jos folosește valorile pătrate din PL 7 în loc de cele originale și rezultă o matrice Laguerre 7×7 (o matrice ale cărei elemente sunt polinoame Laguerre ).

(Matricea Laguerre folosește de fapt o scară diferită și semnele unora dintre coeficienți.)

Al doilea exemplu folosește v ( v  + 1) ca elemente dacă v sunt elemente ale matricei originale. Conduce la construirea unei matrice Lach 7×7 (o matrice cu elemente sub forma numerelor Lach ).

Folosind v ( v  − 1) rezultă o deplasare diagonală în jos-dreapta.

Cel de-al treilea exemplu folosește pătratul matricei originale PL 7 împărțit la 2, cu alte cuvinte: coeficienții binomi de ordinul întâi pe a doua subdiagonală și duce la construirea unei matrice care ia naștere în legătură cu derivatele și integralele Gaussian. functie de eroare :

Dacă această matrice este inversată (de exemplu, luând din nou exponentul , dar cu un semn diferit), atunci semnele coeficienților se schimbă și dau coeficienții derivatelor funcției de eroare Gaussian.

O altă opțiune poate fi obținută prin extinderea matricei originale cu numere negative:


Vezi și

Literatură

Link -uri