Câmp de ucidere

Câmpul Killing (în teoria relativității, adesea doar vectorul Killing ) este un câmp vectorial de viteză al unui grup (local) de mișcări cu un parametru al unei varietăți riemanniene sau pseudo-riemanniene .

Cu alte cuvinte, fluxul generat de câmpul vectorial Killing definește o familie continuă cu un parametru de mișcări ale varietatii, adică transformări sub care tensorul metric rămâne invariant.

În special, dacă tensorul metric dintr-un sistem este independent de una dintre coordonate , atunci câmpul vectorial de-a lungul acelei coordonate va fi un câmp Killing. $g_{\mu \nu }$ $x^{\mu }$ ${\hat {e}}_{\mu }(x)\equiv \partial _{\mu }$

Vectorii ucideri în fizică indică simetria unui model fizic și ajută la găsirea unor cantități conservate, cum ar fi energia , impulsul sau spinul . În teoria relativității , de exemplu, dacă tensorul metric nu depinde de timp, atunci în spațiu-timp există un vector Killing asemănător timpului, cu care este asociată o cantitate conservată - energia câmpului gravitațional.

Numele este dat în onoarea matematicianului german Wilhelm Killing , care a descoperit grupurile Lie și multe dintre proprietățile lor în paralel cu Sophus Lie .

Definiție

Un câmp vectorial pe se numește câmp Killing dacă satisface următoarea ecuație: $X$ $M$

{\mathcal {L}}_{X}g=0,

unde este derivata Lie în raport cu , a este metrica riemanniană pe . ${\mathcal {L}}_{X}$ $X$ $g$ $M$

Această ecuație poate fi rescrisă în termenii conexiunii Levi-Civita :

g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0

pentru orice câmpuri și . $Y$ $Z$

În ceea ce privește coordonatele locale:

\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.

Proprietăți

Un câmp vectorial este un câmp Killing dacă și numai dacă restricția la orice geodezică este un câmp Jacobi . $X$ $X$
Pentru a specifica un câmp Killing, este suficient să specificați valoarea acestuia, plus valorile tuturor derivatelor sale ( covariante ) de ordinul întâi, într-un singur punct. Din acest punct, câmpul vectorial poate fi extins la întreaga varietate.
Paranteza Lie , sau comutatorul, a două câmpuri Killing oferă din nou un câmp Killing. Astfel, câmpurile Killing formează o subalgebră a algebrei Lie infinit-dimensionale a tuturor câmpurilor vectoriale (diferențiabile) de pe varietatea . Această subalgebră este algebra Lie a grupului de mișcări ale varietății.
O combinație liniară de câmpuri de ucidere este, de asemenea, un câmp de ucidere.
- Ilustrație cu adăugarea câmpurilor de ucidere pe un avion. Câmp de rotații în jurul originii + câmp de translație paralelă de -a lungul axei y = câmp de rotații în jurul unui centru deplasat de la origine de-a lungul axei x : Toate cele trei câmpuri sunt câmpuri de mișcare ale planului.
Dacă curbura Ricci a unei varietăți compacte este negativă, atunci nu există câmpuri de distrugere non-triviale (adică nu sunt identice zero) pe ea.
Dacă curbura secțională a unei colectoare compacte este pozitivă și dimensiunea este uniformă, atunci câmpul Killing trebuie să aibă zero.

Exemple

Există trei câmpuri Killing liniar independente pe planul euclidian:

\xi _{1}=\mathbf {e} _{x)

. .

\xi _{2}=\mathbf {e} _{y)

\xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Primele două câmpuri Killing corespund subgrupurilor cu un parametru de deplasări de-a lungul axelor și , iar ultimul, unui subgrup de rotații în jurul originii. Diverse combinații ale acestor trei subgrupe epuizează mișcările posibile ale planului.

X

y

Există șase câmpuri Killing liniar independente în spațiul euclidian tridimensional : $\mathbb {R} ^{3}$

\xi _{x}=\mathbf {e} _{x)

. .

\xi _{y}=\mathbf {e} _{y)

\xi _{z}=\mathbf {e} _{z},

\zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=-z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Ultimele trei câmpuri și sunt , de asemenea, câmpuri Killing pe sferă (acest lucru devine evident dacă o considerăm scufundată în spațiul tridimensional ). $\zeta _{x}$ $\zeta _{y}$ $\zeta _{z}$ $\mathbf {S} ^{2)$
Hiperboloidul univalent dat de ecuația , scufundat în spațiul Minkowski cu metric , are trei câmpuri Killing liniar independente, similare câmpurilor Killing de pe sferă: $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2))$

\zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Variații și generalizări

Câmpurile Killing conformale sunt definite de formulă

{\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g

pentru unele scalare . Ele sunt derivate din familii cu un parametru de mapări conforme .

\lambda

Tensor conform Câmpuri de distrugere : câmpuri tensorale simetrice astfel încât simetrizarea este zero. $T$ $\nabla T$
Câmpul tensor antisimetric Killing-Yano , adesea reprezentat ca „rădăcina pătrată a câmpului tensor simetric Killing”. Simetria descrisă de tensorii Killing și Killing-Yano există în găurile negre Kerr rotative , precum și unele dintre generalizările acestora. Prezența unei astfel de simetrii explică de ce variabilele sunt separate în ecuațiile de mișcare ale mecanicii relativiste clasice și cuantice : Hamilton-Jacobi , undă , Klein-Gordon , Dirac , etc. [1]
Câmpul tensorului Killing .

Note

↑ Alexey Borisovich Gaina . Particule cuantice în câmpurile Einstein-Maxwell/Kishinev. Shtiintsa. 1989.

Literatură

Rashevsky P. K. Riemann geometrie și analiză tensorială - M.: Nauka, 1967.
Eisenhart L.P. Geometrie riemanniana - M .: Izd-vo inostr. lit., 1948.
Xelgason S. Geometrie diferențială și spații simetrice - M.: Mir, 1964.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentele geometriei diferenţiale - M.: Nauka, 1981.