Câmp de ucidere
Câmpul Killing (în teoria relativității, adesea doar vectorul Killing ) este un câmp vectorial de viteză al unui grup (local) de mișcări cu un parametru al unei varietăți riemanniene sau pseudo-riemanniene .
Cu alte cuvinte, fluxul generat de câmpul vectorial Killing definește o familie continuă cu un parametru de mișcări ale varietatii, adică transformări sub care tensorul metric rămâne invariant.
În special, dacă tensorul metric dintr-un sistem este independent de una dintre coordonate , atunci câmpul vectorial de-a lungul acelei coordonate va fi un câmp Killing.
![g_{\mu \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bf4140993a891f5782167dc8a0c236dc7667b8)
![x^{\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684350815d8cc05d6862ce3edf1fb819c1774b46)
![{\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }(x)\equiv \partial _{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c7b45cdc9d4774305cec612529dea07b6c7c10)
Vectorii ucideri în fizică indică simetria unui model fizic și ajută la găsirea unor cantități conservate, cum ar fi energia , impulsul sau spinul . În teoria relativității , de exemplu, dacă tensorul metric nu depinde de timp, atunci în spațiu-timp există un vector Killing asemănător timpului, cu care este asociată o cantitate conservată - energia câmpului gravitațional.
Numele este dat în onoarea matematicianului german Wilhelm Killing , care a descoperit grupurile Lie și multe dintre proprietățile lor în paralel cu Sophus Lie .
Definiție
Un câmp vectorial pe se numește câmp Killing dacă satisface următoarea ecuație:
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
unde este derivata Lie în raport cu , a este metrica riemanniană pe .
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4db2d17b365a7321dbfdb8f8bc512dd911ea54)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Această ecuație poate fi rescrisă în termenii conexiunii Levi-Civita :
pentru orice câmpuri și .
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
În ceea ce privește coordonatele locale:
Proprietăți
- Un câmp vectorial este un câmp Killing dacă și numai dacă restricția la orice geodezică este un câmp Jacobi .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Pentru a specifica un câmp Killing, este suficient să specificați valoarea acestuia, plus valorile tuturor derivatelor sale ( covariante ) de ordinul întâi, într-un singur punct. Din acest punct, câmpul vectorial poate fi extins la întreaga varietate.
- Paranteza Lie , sau comutatorul, a două câmpuri Killing oferă din nou un câmp Killing. Astfel, câmpurile Killing formează o subalgebră a algebrei Lie infinit-dimensionale a tuturor câmpurilor vectoriale (diferențiabile) de pe varietatea . Această subalgebră este algebra Lie a grupului de mișcări ale varietății.
- O combinație liniară de câmpuri de ucidere este, de asemenea, un câmp de ucidere.
- Ilustrație cu adăugarea câmpurilor de ucidere pe un avion. Câmp de rotații în jurul originii + câmp de translație paralelă de -a lungul axei y = câmp de rotații în jurul unui centru deplasat de la origine de-a lungul axei x : Toate cele trei câmpuri sunt câmpuri de mișcare ale planului.
- Dacă curbura Ricci a unei varietăți compacte este negativă, atunci nu există câmpuri de distrugere non-triviale (adică nu sunt identice zero) pe ea.
- Dacă curbura secțională a unei colectoare compacte este pozitivă și dimensiunea este uniformă, atunci câmpul Killing trebuie să aibă zero.
Exemple
![{\displaystyle \xi _{1}=\mathbf {e} _{x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001e40bd33be53c8235823a73d4ccfcffa4b8dc3)
. .
![{\displaystyle \xi _{2}=\mathbf {e} _{y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1130e613c42b5be324d446b788fac0c3f4687fd)
![{\displaystyle \xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920d67bb9178f0541495bf76d6fb6edc277f59f3)
Primele două câmpuri Killing corespund subgrupurilor cu un parametru de deplasări de-a lungul axelor și , iar ultimul, unui subgrup de rotații în jurul originii. Diverse combinații ale acestor trei subgrupe epuizează
mișcările posibile ale planului.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- Există șase câmpuri Killing liniar independente în spațiul euclidian tridimensional :
![\mathbb {R} ^{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)
![{\displaystyle \xi _{x}=\mathbf {e} _{x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f5327d496128a2c7f65fa087e4304c213d75a5)
. .
![{\displaystyle \xi _{y}=\mathbf {e} _{y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f1a3c41fe4215b0b0fed8b136bd8ada09dfa42)
- Ultimele trei câmpuri și sunt , de asemenea, câmpuri Killing pe sferă (acest lucru devine evident dacă o considerăm scufundată în spațiul tridimensional ).
![{\displaystyle \zeta _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e24f3adfcf6a9fd8e8466a3389b2a1c28a7a04)
![{\displaystyle \zeta _{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742ba461a927d7b53ce637f550cd8a6e0242c94e)
![{\displaystyle \zeta _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820593b95f27ed1de20d3173b22b67fe240d0ab0)
![{\displaystyle \mathbf {S} ^{2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab6412080b7fa158001cf0446d05934aafddcf3)
- Hiperboloidul univalent dat de ecuația , scufundat în spațiul Minkowski cu metric , are trei câmpuri Killing liniar independente, similare câmpurilor Killing de pe sferă:
![{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e81a126990e5dbb2598d8114cd1151d48cbeee)
Variații și generalizări
- Câmpurile Killing conformale sunt definite de formulă
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf6d350bdffbe8482350b6b765d18e927972625)
pentru unele scalare . Ele sunt derivate din familii cu un parametru de
mapări conforme .
Note
- ↑ Alexey Borisovich Gaina . Particule cuantice în câmpurile Einstein-Maxwell/Kishinev. Shtiintsa. 1989.
Literatură
- Rashevsky P. K. Riemann geometrie și analiză tensorială - M.: Nauka, 1967.
- Eisenhart L.P. Geometrie riemanniana - M .: Izd-vo inostr. lit., 1948.
- Xelgason S. Geometrie diferențială și spații simetrice - M.: Mir, 1964.
- Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentele geometriei diferenţiale - M.: Nauka, 1981.