Varietatea Einstein

O varietate Einstein este o varietate Riemanniană sau pseudo-Riemanniană al cărei tensor Ricci este proporțional cu tensorul metric .

Această condiție este îndeplinită pentru soluțiile ecuațiilor Einstein cu o constantă cosmologică posibil non-zero , dar, în general, dimensiunea varietății Einstein și semnătura acesteia pot fi arbitrare - nu trebuie să fie varietățile Lorentziane cu patru dimensiuni studiate în relativitatea generală .

Numit după Albert Einstein .

Definiție

O varietate Riemanniană este o varietate Einstein dacă

\mathrm {Ric} =k\cdot g

pentru o constantă , unde denotă tensorul Ricci și este tensorul metric . $k$ $\mathrm {Ric}$ $g$

Note

În cazul în care, o astfel de varietate se mai numește și Ricci-flat . $k=0$
Ecuația lui Einstein cu constanta cosmologică este următoarea $\lambda$ $R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

în vid , tensorul energie-impuls este zero. Deci ecuația se reduce la

T_{ab)

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

care poate fi rescris ca

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda {n-2}}\cdot g_{ab}.

Adică pentru constanta cosmologică pe care o avem .

\lambda

k={\tfrac {2\cdot \Lambda {n-2)}

Exemple

Orice varietate cu curbură în secțiune constantă; în special:
- Spațiul euclidian este plat și, prin urmare, Ricci-plat și în special o varietate Einstein.
- Sfera unitară , Einstein s . ${\mathbb {S}}^{n}$ $k=n-1$
- Spațiul Lobachevsky este einsteinian cu negativ . $k$
Spații proiective complexe, cu metrica Fubini-Study . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Spațiul Calabi-Yau Ricci este plat și, în special, este o varietate Einstein.

Proprietăți

inegalitatea Hitchin-Thorpe este o condiție topologică necesară pentru existența metricii Einstein pe o varietate închisă , orientată, cu patru dimensiuni.

Variații și generalizări

Ricci soliton

Link -uri

Besse A. Einstein varietati. - Lumea, 2009.