Monoid (teoria categoriilor)

În teoria categoriilor, un monoid dintr-o categorie monoidală este un obiect M împreună cu două morfisme $(M,\mu ,\eta )$ $(\mathbf {C},\otimes,I)$

$\mu:M\otimes M\to M$ (numită înmulțire ),
și (numită unitate ), $\eta:I\la M$

astfel încât următoarea diagramă pentagonală

precum și o diagramă

sunt comutative . Notația este aceeași ca la articolul Categoria monoidală : I este unitatea categoriei, , și sunt asociatul și morfismele corespunzătoare înmulțirii la stânga și la dreapta cu unu. $\alfa$ $\lambda$ $\rho$

Dual , un comonoid din categoria monoidală C este un monoid din categoria duală . $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$

Fie ca categoria C să aibă și o transformare de simetrie . Atunci se spune că un monoid este simetric dacă $\gamma$ $M$

\mu \circ \gamma =\mu

Exemple

Un monoid din categoria Multime (considerat ca o categorie monoidală în raport cu produsul direct ) este un monoid în sensul algebric general.
Un monoid din categoria grupărilor abeliene (cu produs tensor ca -module) este un inel . $\mathbb {Z}$
Din teorema Eckmann-Hilton rezultă că un monoid din categoria inelelor (cu unitate) este un inel comutativ .
Un monoid din categoria modulelor peste un inel comutativ R este o R - algebră .
Monoid din categoria spațiilor vectoriale peste un câmp k - k - algebră , respectiv, komonoid - k - coalgebra .
Pentru orice categorie C , categoria [C,C] de endofunctori ( functori în sine) [C,C] are o structură monoidală indusă de operația de compunere. Un monoid din categoria endofunctorilor [C,C] este o monada în C .

Categoria monoizilor

Fie și doi monoizi dintr-o categorie monoidală C , un morfism este un morfism monoid dacă $(M,\mu ,\eta )$ $(M',\mu',\eta ')$ $f:M\la M'$

$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
$f\circ \eta =\eta '$ .

Categoria monoizilor din C cu morfismele definite mai sus se scrie ca . $\mathbf {Lu} _{\mathbf {C} }$

Literatură

McLane S. Categorii pentru un matematician activ - M .: Fizmatlit, 2004.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoizi, acte și categorii (2000), Walter de Gruyter, Berlin - ISBN 3-11-015248-7