Grup multi operator

Un grup multioperator este o algebră arbitrară , echipată cu o structură de grup, care generalizează conceptele de grup , inel , corp , grup de operator (care, la rândul său, generalizează module peste inele , în special, spații vectoriale ) .

Introdusă în 1956 de matematicianul englez Philip Higgins [1] [2] ca cea mai universală structură în care fiecare congruență este reprezentată printr-o descompunere în seturi în idealuri și pentru care se poate defini noțiunea de comutator .

Alte exemple de grupuri multioperator sunt near- ring și near- field . De asemenea, studiem clase universale speciale de grupuri multioperator — inele multioperator și algebre multioperator .

Definiții

Un grup sau -grup cu mai mulți operatori este o algebră care formează un grup , în plus, pentru orice operație -ary , , adică formează un subsistem în . Se presupune că o parte a semnăturii nu conține operații nule. Uneori, un grup multioperator este apelat prin semnătura sa suplimentară - -group. $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $\sigma(0, \dots, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

Un subgrup normal al unui grup se numește un ideal al unui grup multioperator dacă pentru orice operație -arială , arbitrară ( ) și toate elementele de forma: $N$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $g_i \în G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $a \în N$

-\sigma(g_1, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \dots, g_n)

reposedat . Notația poate fi folosită prin analogie cu notația unui subgrup normal și a unui ideal al unui inel. Un grup multioperator se numește simplu dacă are doar două idealuri - grupul însuși și subgrupul zero. $N$ $N \triangleleft \mathfrak G$

Comutatorul elementelor unui grup multi-operator este definit ca un element , notat cu . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

Comutatorul unui grup multioperator este un ideal generat de toate comutatoarele și elementele de forma: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})

pentru orice operațiune -ary din semnătura suplimentară a grupului multioperator. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Proprietățile unui ideal

Pentru grupuri, idealul unui grup multioperator coincide cu conceptul de subgrup normal , iar pentru inele și structuri bazate pe acestea, cu conceptul de ideal cu două fețe .

Orice ideal al unui grup multioperator este subsistemul său . Intersecția oricărui sistem de idealuri al grupului multioperator este din nou idealul său, în plus, acest ideal coincide cu subgrupul grupului generat de aceste idealuri. $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \bigcap N_i$ $\langle G, +, -, 0$

Proprietatea principală a unui ideal este că orice congruență pe un grup cu mai mulți operatori este descrisă prin expansiuni în seturi în raport cu un ideal, cu alte cuvinte, se poate vorbi de un sistem de coeficient al unui grup cu mai mulți operatori (grup de coeficienti multioperator) ca o construcție generatoare de un nou grup multioperator de la idealul său.

Clase speciale de grupuri multioperator

Un inel multioperator este un grup multioperator al cărui grup aditiv este abelian și fiecare operație -ary este distributivă în raport cu adăugarea grupului: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$

\sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, h_i, \dots, g_n)

pentru orice . $g_i, h_i \în G$

O algebră multioperator este un inel multioperator, toate operațiile unare ale căror semnătură suplimentară formează un câmp , în plus, structura este un spațiu vectorial peste acest câmp, iar pentru toate operațiile -are de aritate mai mare decât unul și elementele arbitrare , avem : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \in \Sigma_1$ $n$ $\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \în G$

\lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, \lambda g_i, \dots , g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, \lambda g_n

Ca și alte structuri multioperator, este adesea identificat în text printr-o semnătură suplimentară: multioperator -algebra $\Sigma$ (în acest caz și pentru a evita ambiguitatea între o algebră peste un inel , a cărui generalizare specială, și o algebră în sens universal ). ).

Idealurile inelelor multioperatoare și algebrelor sunt subgrupe în care prezența unui element implică conținutul în ele al tuturor elementelor de forma [3] . $N \triangleleft G$ $g_i \în N$ $\sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) \in N$

Note

↑ PJ Higgins. Grupuri cu operatori multipli // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Vol. 6 , nr. 3 . - P. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , p. 114.
↑ Algebră generală, 1991 , p. 357.

Literatură

A. G. Kurosh . Grupuri cu multioperatori // Prelegeri de algebră generală. - Ed. a II-a - M . : Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30.000 de exemplare.
Artamonov V. A. . Capitolul VI. Algebre universale // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Grup multioperator // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)