Inversarea integralei Laplace

Fie ca funcția unei variabile complexe să îndeplinească următoarele condiții: $F$ $p=x+iy$

$F$ — analitice în domeniu $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$
în regiune la uniform în raport cu $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F\la 0$ $|p|\la +\infty$ $\arg p$
integrala converge pentru toti $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy$

Atunci funcția for este imaginea funcției variabilei reale , care poate fi găsită prin formula $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $f$ $t$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p) \,dp,\quad x>a

Această formulă se numește formula Mellin, iar integrala se numește integrală Mellin (numită după matematicianul finlandez Hjalmar Mellin ). În multe cazuri, integrala Mellin poate fi calculată folosind reziduuri . Și anume, dacă o funcție definită în domeniu poate fi extinsă analitic la întregul plan al unei variabile complexe cu un număr finit de puncte singulare și continuarea ei analitică satisface în condițiile lemei Jordan , atunci $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $p_{1},p_{2},\dots,p_{n)$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p<a$

f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k))(e^{pt}F(p))

Vezi și

Prima teoremă de descompunere
A doua teoremă de descompunere