Constrângere Weyl

Constrângerea scalară (cunoscută și ca „constrângerea Weyl”) este un functor care, pentru orice extensie de câmp finit L/k și orice varietate algebrică X peste L , dă o altă varietate Res L / k X definită peste k . Constrângerea scalară este utilă pentru a reduce întrebările despre soiuri pe câmpuri mari la întrebări despre soiuri mai complexe pe câmpuri mai mici.

Definiție

Fie L/k o extensie de câmp finit și X o varietate definită peste L . Functorul de la k - scheme op la mulţimi este definit prin expresie $\mathrm {Rez} _{L/k}X$

\mathrm {Rez} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)

(În special, k -punctele raționale ale unei varietăți sunt L - punctele raționale ale lui X. ) Varietatea pe care o reprezintă acest functor se numește constrângere scalară și este unică până la izomorfism dacă există. $\mathrm {Rez} _{L/k}X$

Din punctul de vedere al snopilor de mulțimi, restricția scalarilor este pur și simplu diferența de-a lungul morfismului Spec L Spec k și este corect conjugată cu produsul fibros al schemelor , astfel încât definiția de mai sus poate fi reformulată mai general. În special, extensiile de câmp pot fi înlocuite cu orice morfism topoi inel , iar ipoteza despre X poate fi relaxată, de exemplu, la stive. Acest lucru are ca rezultat un control mai slab asupra comportamentului constrângerii scalare. $\la$

Proprietăți

Pentru orice extensie de câmp finit, constrângerea scalară duce o varietate cvasi-proiectivă la o varietate cvasi-proiectivă. Dimensiunea varietății rezultate se înmulțește cu gradul de extensie.

În condițiile potrivite (de exemplu, plat, propriu, prezentat finit), orice morfism al spațiilor algebrice produce un functor de restricție scalară care mapează stivele algebrice la stivele algebrice, păstrând proprietăți precum stiva Artin, Deligne. - Mumford stack, și imaginabilitate. $T\la S$

Exemple și aplicații

1) Fie L o extensie finită a câmpului k de gradul s. Atunci (Spec L ) = Spec( k ) și este un spațiu afin s-dimensional peste Spec k . $\mathrm {Res} _{L/k)$ $Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1)$ $\mathbb {A} ^{s}$

2) Dacă X este o varietate L afină definită prin expresie

X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots,x_{n}]/(f_{1},\dots,f_{m})

putem scrie ca Spec , unde y i,j ( ) sunt variabile noi, iar g l,r ( ) este un polinom obținut prin alegerea unei baze k a extensiei L și stabilirea și . $\mathrm {Rez} _{L/k}X$ $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$ $1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$ $1\leq l\leq m,1\leq r\leq s$ $y_{i,j}$ $e_{1},\dots, e_{s)$ $x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s)$ $f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s)$

3) Restricționarea scalarilor pe o extensie de câmp finit traduce schemele de grup în scheme de grup.

În special:

4) Thor

\mathbb {S} :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m)

unde G m înseamnă grupul multiplicativ, joacă un rol esențial în teoria Hodge, deoarece categoria Tannakie structurilor reale Hodge este echivalentă cu categoria reprezentărilor S . Punctele reale au o structură de grup Lie care este izomorfă cu . Vezi grupul Mumford–Tate . $\mathbb {C} ^{\times }$

5) Constrângerea Weil a unei varietăți de grup (comutativă) este din nou o varietate de grup (comutativă) de dimensiune dacă L este separabil peste k . Alexander Momot a aplicat restricțiile lui Weil asupra varietăților de grup comutativ cu și pentru a obține rezultate noi în teoria transcendenței, care se baza pe o creștere a dimensiunii algebrice. $\mathrm {Rez} _{L/k}\mathbb {G}$ $\mathbb {G}$ $[L:k]\dim \mathbb {G}$ $k=\mathbb {R}$ $L=\mathbb {C}$

6) Restricționarea scalarilor pe varietăți abeliene (de exemplu , curbe eliptice ) dă soiuri abeliene dacă L este separabil peste k . James Meehl a folosit acest lucru pentru a reduce conjectura Birch-Swinnerton-Dyer asupra soiurilor abeliene din toate câmpurile numerice la aceeași presupunere asupra numerelor raționale.

7) În criptografia eliptică , coborârea Weil folosește constrângerea Weyl pentru a transforma problema logaritmului discret pe o curbă eliptică peste o extensie de câmp finit L/K în problema logaritmului discret pe varietatea Jacobi unei curbe hiperbolice peste un câmp de bază K, care este potențial mai ușor de rezolvat datorită dimensiunii mai mici a câmpului K.

Construcții Weil versus transformări Greenberg

Constrângerea scalară este similară transformării Greenberg, dar nu o generalizează, deoarece inelul vectorial Witt pe o algebră comutativă A nu este, în general, o algebră A.

Note

Literatură

Andrew Weil. Adeles și grupurile algebrice. - Birkhäuser, 1982. - T. 23. - (Progres în matematică). Note la prelegerile susținute în 1959-1960.
- Weil A. ADELIE ȘI GRUPURI ALGEBRICE // Matematică. - 1964. - T. 8 , nr. 4 . - S. 3-74 .
Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud . Modelele Neron. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1990. - T. 21. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzbiete). — ISBN 3-540-50587-3 . — ISBN 0-387-50587-3 .
James S. Milne. Despre aritmetica soiurilor abeliene // Invent. Matematică. - 1972. - Emisiune. 17 . - S. 177-190 .
Martin Olson. Hom stacks and restriction of scalars // Duke Math J .. - 2006. - Vol. 134 . — S. 139–164 .
Bjorn Poonen. Puncte raționale asupra soiurilor . - American Mathematical Society, 2017. - V. 186. - (Graduate Studies in Mathematics). - ISBN 978-1-4704-3773-2 .
Alexander Lech Momot. Densitatea punctelor raționale pe varietăți de grup comutativ și grad de transcendență mic . — 2010.