Cuaternioni și rotația spațiului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificările necesită 10 modificări .

Cuaternionii oferă o notație matematică convenabilă pentru orientarea spațiului și rotația obiectelor în acel spațiu. În comparație cu unghiurile Euler, cuaternionii facilitează combinarea rotațiilor, precum și evită problema de a nu se putea roti în jurul unei axe indiferent de rotația din alte axe (prezentat). În comparație cu matricele de rotație, acestea sunt mai stabile din punct de vedere computațional și pot fi mai eficiente. Cuaternionii și-au găsit aplicația în grafica computerizată , robotică , navigație , dinamică moleculară .

Operații de rotație [1]

Reprezentarea spațiului de revoluție

Cuaternionii standard de unitate , numiți și versori conform lui Hamilton , oferă o modalitate algebrică de a reprezenta rotația în trei dimensiuni. Corespondența dintre rotații și cuaternioni poate fi realizată în primul rând prin spațiul de rotație propriu-zis, grupul SO(3) .

Orice rotație în spațiul tridimensional este o rotație printr-un anumit unghi în jurul unei anumite axe. Dacă unghiul este zero, atunci alegerea axei este irelevantă; astfel, rotațiile printr-un unghi de 0° sunt un punct în spațiul de rotație ( rotație identică ). Pentru un unghi mic (dar diferit de zero), fiecare rotație posibilă prin acel unghi este o sferă mică care înconjoară rotația identică, unde fiecare punct de pe acea sferă reprezintă o axă îndreptată într-o anumită direcție (comparabilă cu sfera cerească ). Cu cât unghiul de rotație este mai mare, cu atât rotația este mai îndepărtată de rotația identică; astfel de rotații pot fi gândite ca sfere concentrice cu rază crescândă. Astfel, în apropierea rotației identitare, spațiul abstract al rotațiilor arată ca un spațiu tridimensional obișnuit (care poate fi reprezentat și ca un punct central înconjurat de sfere concentrice). Pe măsură ce unghiul crește la 360°, rotațiile în jurul diferitelor axe încetează să se diverge și încep să devină asemănătoare între ele, devenind egale cu rotația identică atunci când unghiul atinge 360°.

Putem vedea un comportament similar pe suprafața unei sfere. Dacă ne poziționăm la polul nord și începem să tragem linii drepte care radiază din acesta în direcții diferite (adică linii de longitudine ), acestea vor diverge mai întâi, dar apoi vor converge din nou la polul sud. Cercurile concentrice formate în jurul polului nord ( latitudine ) se vor micșora la un punct la polul sudic - când raza sferei este egală cu distanța dintre poli. Dacă ne gândim la diferite direcții de la pol (adică, diferite longitudini) ca axe de rotație diferite și diferite distanțe de la pol (adică, latitudini) ca unghiuri de rotație diferite, atunci avem spațiu pentru rotații. Sfera rezultată reprezintă o rotație în spațiu tridimensional, deși este o suprafață bidimensională, ceea ce nu permite modelarea unei hipersfere . Cu toate acestea, suprafața bidimensională a unei sfere poate fi reprezentată ca parte a unei hipersfere (cum un cerc este parte a unei sfere). Putem lua parte, de exemplu, pentru a reprezenta rotația în jurul axelor din planurile x și y . Este important de reținut că unghiul de rotație față de ecuator este de 180° (nu 90°); la polul sud (din nord) 360° (nu 180°).

Polii nord și sud reprezintă aceleași rotații. Acest lucru este valabil pentru oricare două puncte diametral opuse: dacă un punct este o rotație printr-un unghi în jurul axei v , atunci un punct cu rotație printr-un unghi în jurul axei - v este diametral opus . Astfel, spațiul de rotații nu este în sine o 3-sferă , ci o 3 - semi - sferă ( o bilă de rază pe ea ) cu puncte identificate diametral opuse, care este difeomorfă față de spațiul proiectiv . Cu toate acestea, pentru majoritatea scopurilor, se poate gândi la rotații ca puncte pe o sferă, chiar dacă au dublă redundanță. $\alfa$ $\scriptstyle 360^{\circ }-\alpha$ $\pi$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Definiția space of revolution

Coordonatele unui punct de pe suprafața unei sfere pot fi date de două numere, cum ar fi latitudinea și longitudinea. Cu toate acestea, o astfel de coordonată precum longitudinea la polii nord și sud începe să se comporte pe termen nelimitat (indică degenerare ), deși polii nord și sud nu diferă fundamental de niciun alt punct de pe suprafața sferei. Aceasta arată că niciun sistem de coordonate nu poate caracteriza o poziție în spațiu cu două coordonate. Acest lucru poate fi evitat prin plasarea sferei în spațiu tridimensional, caracterizarea ei cu coordonate carteziene ( w , x , y ), plasând polul nord pe ( w , x , y ) = (1, 0, 0), sudul polul de pe ( w , x , y ) = (−1, 0, 0), iar ecuatorul de la w = 0, x ² + y ² = 1. Punctele de pe sferă satisfac relația w ² + x ² + y ² = 1. Ca urmare, se obțin două grade de libertate , deși există trei coordonate. Punctul ( w , x , y ) reprezintă o rotație în jurul axei ( x , y , 0 ) printr - un unghi . $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2))}$

În același mod, spațiul rotațiilor tridimensionale poate fi caracterizat prin trei unghiuri (unghiuri Euler ), totuși, orice astfel de reprezentare începe să degenereze în anumite puncte ale hipersferei. Această problemă poate fi evitată utilizând coordonatele euclidiene w , x , y , z , unde w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Punctul ( w , x , y , z ) reprezintă rotația în jurul axelor ( x , y , z ) după unghi $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Pe scurt despre cuaternioni

Un număr complex poate fi definit prin introducerea simbolului abstract i , care satisface regulile obișnuite ale algebrei, precum și regula . Acest lucru este suficient pentru a reproduce toate regulile aritmeticii numerelor complexe. De exemplu: $i^{2}=-1$

(a+b{\mathbf {i}})(c+d{\mathbf {i}})=ac+ad{\mathbf {i}}+b{\mathbf {i}}c+b{\mathbf {i}}d{\mathbf {i}}=ac+ad{\mathbf {i}}+bc{\mathbf {i}}+bd{\mathbf {i}}^{2}=(ac-bd )+(bc+ad){\mathbf {i}}

În același mod, cuaternionii pot fi definiți prin introducerea simbolurilor abstracte i , j , k , a căror înmulțire este dată de regula

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =- unu

{\mathbf {i}}{\mathbf {j}}=-{\mathbf {j}}{\mathbf {i}}={\mathbf {k}}

{\mathbf {j}}{\mathbf {k}}=-{\mathbf {k}}{\mathbf {j}}={\mathbf {i}}

{\mathbf {k}}{\mathbf {i}}=-{\mathbf {i}}{\mathbf {k}}={\mathbf {j}}

iar înmulțirea cu numere reale sunt definite în mod obișnuit, iar înmulțirea se presupune a fi asociativă , dar nu comutativă (un exemplu de înmulțire necomutativă este și înmulțirea matriceală ). De aici rezultă, de exemplu, toate regulile aritmeticii cuaternioane

(a+b{\mathbf {i}})(e+h{\mathbf {k}})=ae+be{\mathbf {i}}-bh{\mathbf {j}}+ah{\mathbf { k))

Partea imaginară a cuaternionului se comportă la fel ca vectorul , iar partea reală a se comportă la fel ca scalarul în . Când folosiți cuaternioni, urmând Hamilton, îi puteți descrie ca sumă a unui scalar și a unui vector și puteți utiliza produsele vectoriale și scalare și ( ideea cărora a fost sugerată de cuaternioni). Mai mult, ele sunt legate de înmulțirea obișnuită a cuaternilor prin următoarea formulă: $b{\mathbf {i}}+c{\mathbf {j}}+d{\mathbf {k}}$ $(b,c,d)\în \mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb {R}$ $\times$ $\cdot$

{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}}={\mathbf {vw}}+{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}

Produsul încrucișat este necomutativ, în timp ce produsele scalar-scalare și scalare-vectorale sunt comutative. Urmează aceste reguli:

(s+{\mathbf {v}})(t+{\mathbf {w}})=(st-{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})+(s{\mathbf {w} }+t{\mathbf {v}}+{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}})

Inversul (stânga și dreapta) pentru un cuaternion diferit de zero este $s+{\mathbf {v}}$

(s+{\mathbf {v}})^{{-1}}={\frac {s-{\mathbf {v}}}{s^{2}+|{\mathbf {v}}|^{ 2}}}

care se poate verifica prin calcul direct.

Definiția spațiului de revoluție în termeni de cuaternioni

Să presupunem ( w , x , y , z ) sunt coordonatele de rotație, conform descrierii anterioare. Atunci cuaternionul q poate fi definit ca

q=w+x{\mathbf {i}}+y{\mathbf {j}}+z{\mathbf {k}}=w+(x,y,z)=\cos(\alpha /2)+{ \mathbf {u}}\sin(\alpha /2)

unde este vectorul unitar. Astfel, munca $\mathbf {u}$

q{\mathbf {v}}q^{{-1}}

rotește vectorul cu un unghi în jurul axei date de vectorul . Rotația este în sensul acelor de ceasornic dacă luăm în considerare rotația în direcția vectorului ; adică direcția vectorului este aceeași cu direcția de translație a elicei drepte atunci când este rotită printr-un unghi pozitiv . $\mathbf{v}$ $\alfa$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\alfa$

Puteți lua o compoziție de rotații pe cuaternioni prin înmulțirea lor (ordinea de rotație depinde de ordinea înmulțirii). Deci rotații pe cuaternioni și egali $p$ $q$

pq{\mathbf {v}}(pq)^{{-1}}=pq{\mathbf {v}}q^{{-1}}p^{{-1}}

care este la fel cu rotirea pe și apoi pe . $q$ $p$

Inversarea unui cuaternion este aceeași cu rotirea în sens opus, deci . Pătratul unui cuaternion este o rotație printr-un unghi dublu în jurul aceleiași axe. Într-un sens general, aceasta este o rotație în jurul unei axe cu un unghi de ori mai mare decât cel original. În schimb , poate fi orice număr real $q^{{-1))(q{\mathbf {v}}q^{{-1}})q={\mathbf {v}}$ $q^{n}$ $q$ $n$ $n$ , permițând utilizarea cuaternionilor pentru a interpola fără probleme între două poziții în spațiu.

Rotația cuaternionului unitar

Fie u vectorul unitar (axa de rotație) și cuaternionul. Scopul nostru este să arătăm asta $q=\cos {\frac {\alpha }{2))+{\mathbf {u))\sin {\frac {\alpha }{2)}$

{\mathbf {v}}'=q{\mathbf {v}}q^{{-1}}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\mathbf {u}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\mathbf {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\mathbf {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)

rotește vectorul v cu un unghi α în jurul axei u . Deschizând parantezele, obținem:

{\begin{array}{lll}{\mathbf {v}}'&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+({\mathbf { uv))-{\mathbf {vu)))\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))-{\mathbf {uvu))\sin ^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2({\mathbf {u }}\times {\mathbf {v}})\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-({\mathbf {v}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})-2{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}))\sin ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))+({\mathbf {u))\times {\mathbf {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\ alfa {2)))+{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2 }})\\&=&{\mathbf {v}}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u}} ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(1-\cos \alpha )\\&=&({\mathbf {v}}-{\mathbf {u}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v))))\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u} }( {\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})\\&=&{\mathbf {v}}_({\bot }}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ ori {\mathbf {v}}_({\bot }})\sin \alpha +{\mathbf {v}}_({\|}}\end{array}}

unde și sunt componentele vectorului v care sunt perpendiculare și, respectiv, paralele pe axa u . ${\mathbf {v}}_{{\bot }}$ ${\mathbf {v}}_{{\|}}$

Rezultatul rezultat este formula de rotație prin unghiul α în jurul axei u .

Înmulțirea unui vector cu −1 , adică luând cuaternionul opus , nu schimbă rotația. În special, cuaternionii 1 și -1 definesc ambii o rotație identică. Mai abstract, vectorii aparțin grupului SU(2) Lie , care este difeomorf cu 3-sfere. Acest grup acoperă spațiul de rotație SO(3) de două ori.

Rotația spațiului euclidian cu patru dimensiuni

O rotație cu patru dimensiuni este descrisă de două cuaternioni standard, până la înmulțirea ambilor simultan cu −1.

Variații și generalizări

Formule similare fac posibilă aplicarea biquaternionilor pentru a descrie transformările Lorentz - „rotații” spațiului Minkowski 4-dimensional .

Vezi și

suspensie de cardan

Note

↑ Rotations, Quaternions, and Double Groups / Altmann, Simon L. - Mineola: Dover Publications, 1986. - 317 p.

Literatură

V. I. Arnold. Geometria numerelor complexe, a cuaterniilor și a spinilor . — M .: MTSNMO , 2002. — 40 p. — ISBN 5-94057-025-9 .
I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov Numerele hipercomplexe (link inaccesibil) . — M.: Nauka , 1973. — 144 p.

Link -uri

Producător de pantofi, Ken. Tutorial Quaternion
Hart, Francis, Kauffman. Quaternion demo Arhivat 25 februarie 2009 la Wayback Machine
Byung-Uk Lee, Unit Quaternion Representation of Rotation Arhivat la 27 septembrie 2007 la Wayback Machine
Ibanez, Luis, Quaternion Tutorial I
Ibanez, Luis, Quaternion Tutorial II
Rotație în spațiu și cuaternioni Arhivat 30 decembrie 2013 la Wayback Machine
Rotire în 3D cu numere hipercomplex Arhivat 19 aprilie 2014 la Wayback Machine
Verzor // Marea Enciclopedie Sovietică : în 66 de volume (65 de volume și 1 suplimentar) / cap. ed. O. Yu. Schmidt . - M. : Enciclopedia sovietică , 1926-1947.