Algebra Banach

O algebră Banach peste un câmp complex sau real este o algebră asociativă , care este un spațiu Banach . În acest caz, înmulțirea în ea trebuie să fie în concordanță cu norma:

.

Această proprietate este necesară pentru continuitatea operației de înmulțire față de normă.

O algebră Banach se numește algebră unitară sau Banach cu o unitate dacă are o unitate (adică un element care este adevărat pentru toate ). În acest caz, de obicei se cere ca norma unității să fie egală cu 1. Dacă o unitate există, atunci aceasta este unică. Orice algebră Banach poate fi încorporată izometric în algebra Banach unitară corespunzătoare ca un ideal cu două fețe închis .

Se spune că o algebră Banach este comutativă dacă operația de înmulțire din ea este comutativă .

Exemple

.

Proprietăți

Unele funcții elementare pot fi definite folosind serii de puteri pentru elementele unei algebre Banach. În special, se pot defini exponentul unui element al unei algebre Banach, funcții trigonometrice și, în general, orice funcție întreagă . Pentru elementele unei algebre Banach, formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare ( seria Neumann ) rămâne valabilă .

Mulțimea elementelor inversabile ale unei algebre este o mulțime deschisă . Mai mult, maparea care asociază fiecare element inversabil cu un invers este un homeomorfism . Astfel, este un grup topologic.

Într-o algebră unitară, unitatea nu poate fi un comutator: pentru   orice x , y  ∈  A. Rezultă că, de asemenea, nu este un comutator.

Teorema GelfandMazur este valabilă : fiecare algebră Banach complexă unitară în care toate elementele diferite de zero sunt inversabile este izomorfă .

Teoria spectrală

În algebrele Banach unitare este introdus conceptul de spectru, care extinde conceptul de spectru al unui operator la o clasă mai generală de obiecte.

Un element al unei algebre se spune a fi inversabil dacă există un element astfel încât . Spectrul unui element este mulțimea astfel încât elementul este ireversibil. Spectrul oricărui element al unui complex unitar algebrei Banach este o mulțime compactă nevidă. Pe de altă parte, pentru orice mulțime compactă, spectrul unui element din algebra definită de formulă coincide cu , deci nu există alte restricții asupra spectrului unui element într-o algebră Banach arbitrară.

Raza spectrală a unui element este mărimea

.

Formula Beurling - Gelfand pentru raza spectrală este valabilă :

Mulțimea rezolutivă a unui element se numește mulțime . Mulțimea rezolutivă a unui element al unei algebre Banach este întotdeauna deschisă. Rezolvarea unui element este o funcție a unei variabile complexe definite de formula . Rezolvarea unui element al unei algebre Banach este o funcție holomorfă .

Dacă este o funcție holomorfă într-o vecinătate a spectrului , aceasta poate fi determinată prin formula

,

unde este un contur Jordan rectificabil situat în , care conține spectrul elementului și orientat pozitiv și este soluția elementului . În special, această formulă poate fi folosită pentru a determina exponentul unui element dintr-o algebră Banach.

Idealuri și personaje

Fie A o algebră Banach comutativă unitară peste câmpul numerelor complexe. Un caracter χ al unei algebre A este o funcțională liniară nenulă , care are proprietatea multiplicativă: pentru orice a , b ∈ A , χ( ab ) = χ( a )χ( b ) și χ( 1 ) = 1 sunt adevărate. Adică, un caracter este un homomorfism diferit de zero al algebrelor A și . Se poate verifica că fiecare caracter dintr-o algebră Banach este continuu și norma sa este 1.

Nucleul caracterului este idealul maxim în A . Dacă este un ideal maxim, atunci algebra coeficientului este un câmp și o algebră Banach, atunci, după teorema Gelfand-Mazur, este izomorfă la . Prin urmare, fiecărui ideal maxim i se poate atribui un caracter unic χ astfel încât ker χ = . Acest caracter este definit ca compoziția unei mapări factoriale și a unui izomorfism în . Astfel, se stabilește o bijecție între setul de caractere și setul de idealuri maxime .

Mulțimea tuturor caracterelor se numește spațiul idealurilor maxime sau spectrul algebrei A și se notează Spec A . Această mulțime poate fi dotată cu topologia moștenită din topologia slabă* (topologia convergenței punctuale ) în spațiul dual A * . Din teorema Banach-Alaoglu și din închiderea Spec A rezultă că Spec A este un spațiu topologic Hausdorff compact .

Transformarea Gelfand a unui element al algebrei A este o funcție continuă definită prin formula pentru toate caracterele χ. Transformarea Gel'fand realizează un homomorfism de contracție al algebrei A în algebra C(Spec A) a funcțiilor continue pe o mulțime compactă.

Radicalul unei algebre A este intersecția tuturor idealurilor sale maxime. Dacă radicalul este format numai din zero, se spune căalgebra A este semi simplă . Nucleul transformării Gelfand coincide cu radicalul algebrei, deci transformarea Gelfand este injectivă dacă și numai dacă algebra A este semisimplu. Astfel, orice algebră Banach comutativă semisimplu cu unitate coincide până la izomorfism cu o algebră de funcții continuă pe o mulțime compactă - cu imaginea transformării Gelfand.

Literatură