Operator D'Alembert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 ianuarie 2020; verificările necesită 4 modificări .

Operatorul d'Alembert ( operator d'Alembert, operator val, d'Alembert ) este un operator diferenţial de ordinul doi

\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},

unde este operatorul Laplace , este o constantă. Uneori, operatorul este scris cu semnul opus. $\Delta$ $c$

Are forma în coordonate carteziene :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+{\frac { \partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^ {2}}},

permițând o generalizare directă la orice dimensiune spațială finită , atât mai mare, cât și mai mică de trei (o astfel de generalizare se mai numește și operatorul d'Alembert, cu adăugarea, dacă nu este clar din context, " -dimensional"). $n$

În cazul unui vector, operatorul d'Alembert ia forma:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2)}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\partial t^{2))))$ [1] , undeeste un vector, $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\ frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^ {2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\ mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y} }{\partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\ biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z }\mathbf {k} )$

Numit după J. D'Alembert (1747), care a considerat forma sa cea mai simplă atunci când a rezolvat o ecuație de undă unidimensională .

Este utilizat în electrodinamică , acustică și alte probleme de propagare a undelor (în principal liniară). Operatorul D'Alembert (al dimensiunii corespunzătoare) este inclus în ecuația de undă a oricărei dimensiuni, formând baza acesteia, precum și în ecuația Klein-Gordon-Fock .

Este ușor de observat că operatorul d'Alembert este o generalizare a operatorului Laplace la cazul spațiului Minkowski .

Scrierea în coordonate curbilinie

Operator D'Alembert în coordonate sferice :

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\ dreapta)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u} {\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};

în coordonate cilindrice :

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right )+{\frac {1}{\rho ^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2))}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))} ;

în coordonate curbilinii generale (pentru spațiu-timp):

\square u\equiv {\frac {1}({\sqrt {-g)))){\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\left({\sqrt {-g} }\,g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),

unde este determinantul matricei , compus din coeficienții tensorului metric . $g$ $\|g_{{\mu \nu ))\|$ $g_{\mu \nu }$

Note

↑ I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” Volumul II paragraful „Ecuația undelor” p. 398

Literatură

V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich „Dicționar matematic al învățământului superior”. Editura MPI 1984.
I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” Volumul II

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare