Derivată a doua

Derivata a doua sau a doua a unei funcții este derivata derivatei lui . Aproximativ vorbind, derivata a doua măsoară modul în care se modifică rata de modificare a cantității în sine; de exemplu, derivata a doua a poziției unui obiect în raport cu timpul este accelerația instantanee a obiectului sau rata de schimbare a vitezei obiectului în raport cu timpul. În notația Leibniz : $f$ $f$

\mathbf {a} = {\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x)}}{dt^{2))} ,

unde - accelerația, - viteza, - timpul, - poziția obiectului, d - „delta” sau schimbare instantanee. Ultima expresie este derivata a doua a poziției în raport cu timpul. $A$ $v$ $t$ $X$ ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ $(X)$

Pe graficul unei funcții, derivata a doua corespunde curburii sau convexității graficului. Graficul unei funcții cu derivată secundă pozitivă într-un punct se curbează în jos în acel punct, în timp ce graficul unei funcții cu derivată secundă negativă într-un punct se curbează în direcția opusă în acel punct.

Denumire

Derivata a doua a unei functii este de obicei notata [1] [2] . Acesta este: $f(x)$ $f''(x)$

f''=\left(f'\right)'

Când se folosește notația Leibniz , derivata a doua parțială a variabilei dependente în raport cu variabila independentă se scrie ca: $y$ $X$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

Această denumire este derivată din următoarea formulă:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \dreapta).

Derivata a doua a unei functii de putere

Luând derivata de două ori, obținem formula pentru derivata a doua:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{ dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}} \left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.

Exemplu

Dată o funcție

f(x) = x^3,

derivată a funcţiei - $f$

f^{\prime }(x)=3x^{2}.

A doua derivată a este derivata lui , și anume $f$ $f^{\prime }$

f^{\prime \prime }(x)=\left(f'\left(x\right)\right)'=6x.

A doua derivată pe grafic

Bulge

Derivata a doua a functiei poate fi folosita pentru a determina convexitatea/concavitatea graficului [2] . O funcție a cărei derivată a doua este pozitivă va fi convexă în jos (numită și concavă în sus), ceea ce înseamnă că tangenta se va afla sub graficul funcției. În mod similar, o funcție a cărei derivată a doua este negativă va fi convexă în sus (numită și simplu concavă în jos), iar liniile sale tangente se vor afla deasupra graficului funcției. $f$ $f$

Puncte de inflexiune

Dacă derivata a doua a unei funcții își schimbă semnul, atunci graficul funcției se schimbă de la convex în sus la convex în jos sau invers. Punctul în care graficul nu mai este convex în sus, dar nu este încă convex în jos se numește punct de inflexiune . Dacă derivata a doua este continuă, dispare în orice punct de inflexiune, dar rețineți că nu orice punct în care derivata a doua este zero este în mod necesar un punct de inflexiune.

Studiul punctelor staţionare

Relația dintre derivata a doua și grafic poate fi folosită pentru a testa dacă un punct staționar al unei funcții (adică un punct în care ) este un maxim local sau un minim local . In detalii: $f'(x)=0$

Dacă , atunci are un maxim local în punctul . $f^{\prime \prime }(x)<0$ $f$ $X$
Dacă , atunci are un minim local la . $f^{\prime \prime }(x)>0$ $f$ $X$
Dacă , verificarea derivatei a doua nu spune nimic despre dacă punctul este un punct de inflexiune. $f^{\prime \prime }(x)=0$ $X$

Motivul pentru care derivata a doua dă astfel de rezultate poate fi înțeles cu ajutorul unei analogii cu lumea reală. Luați în considerare un vehicul care înaintează inițial cu viteză mare, dar cu accelerație negativă . Este clar că poziția mașinii în punctul în care viteza ajunge la zero va fi cea mai mare distanță față de poziția inițială - pasul următor, viteza va deveni negativă, iar mașina va începe să meargă în direcția opusă. Același lucru este valabil și pentru minim atunci când vehiculul are inițial o viteză negativă, dar o accelerație pozitivă.

Limită

Puteți scrie derivata a doua cu o singură limită :

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2))}.

Această limită poate fi numită a doua derivată simetrică [3] [4] . Este de remarcat faptul că derivata a doua simetrică poate exista chiar dacă derivata a doua (obișnuită) nu există.

Partea dreaptă a expresiei poate fi scrisă ca raport de diferență a rapoartelor de diferență:

{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2))}={\frac ({\frac {f(x+h)-f( x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}.

Această limită poate fi considerată ca o versiune continuă a celei de-a doua diferențe finite pentru secvențe .

Cu toate acestea, existența limitei de mai sus nu înseamnă că funcția are o derivată a doua. Limita de mai sus face pur și simplu posibilă calcularea derivatei a doua, dar nu oferă o idee despre existența acesteia. Contraexemplul este funcția care este definită ca: $f$ $\operatorname {sgn}(x)$

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,\ \ x<0\\0,\ \ \ \ \ x=0\\1,\ \ \ \ \ x>0 \end{cazuri}}

Funcția este discontinuă la zero, deci derivata a doua pentru nu există. Dar limita de mai sus există pentru : $\operatorname {sgn}(x)$ $x=0$ $x=0$

{\begin{aliniat}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0 -h)}{h^{2))}&=\lim _{h\la 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h) }{h^{2))}\\&=\lim _{h\la 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^ {2}}}=\lim _{h\la 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}

Aproximație cuadratică

Așa cum prima derivată este legată de aproximarea liniară, a doua derivată este legată de aproximarea pătratică pentru funcția . Aceasta este o funcție pătratică ale cărei derivate prima și a doua sunt aceleași cu y la punctul dat. Formula pentru aproximarea pătratică a unei funcții în jurul unui punct are forma $f$ $f$ $f$ $x=a$

f(x)\aprox f(a)+f'(a)(xa)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(xa)^{2}.

Această aproximare pătratică este o serie Taylor de ordinul doi pentru funcția centrată pe x = a .

Valori proprii și vectori proprii ai derivatei a doua

Pentru multe probleme cu valori la limită , se pot obține formule explicite pentru valorile proprii și vectorii proprii ai operatorului derivat al doilea. De exemplu, dacă presupunem că și li se dau condiții la limită Dirichlet omogene (adică ), atunci valorile proprii și vectorii proprii corespunzători (numiți și funcții proprii) sunt egale cu . Aici $x\in [0,L]$ $v(0)=v(L)=0$ $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$

Pentru alte cazuri notabile, a se vedea valorile proprii și vectorii proprii ai derivatei a doua .

Generalizare la dimensiuni mai mari

Hessian

A doua derivată este generalizată la dimensiuni mai mari cu noțiunea de derivate a doua parțiale . Funcția are trei derivate parțiale de ordinul doi: $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}} ,{\text{ și }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2))))

și derivate parțiale mixte:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z )),{\text{ și }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z)).

Dacă toate aceste derivate sunt continue, atunci se poate compune o matrice simetrică din ele, cunoscută sub numele de matrice Hessiană . Valorile proprii ale acestei matrice pot fi utilizate pentru a implementa un analog multivariat al verificării derivatei a doua.

O altă generalizare comună a derivatei a doua este laplacianul . Acesta este un operator diferenţial (sau ), definit ca: $\nabla ^{2}$ $\Delta$

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2)}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

Laplacianul funcției este egal cu divergența gradientului și urma matricei hessiene.

Vezi și

Diferența finită folosită pentru aproximarea derivatei a doua
Testul punctului de inflexiune
Egalitatea derivatelor mixte

Note

↑ Conținut - A doua derivată . amsi.org.au. _ Data accesului: 16 septembrie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 Derivate secunde _ . Matematică24 . Data accesului: 16 septembrie 2020. (nedefinit)
↑ A. Zygmund. Seria trigonometrică. - Cambridge University Press, 2002. - P. 22-23. — ISBN 978-0-521-89053-3 .
↑ Thomson. Proprietăţile simetrice ale funcţiilor reale. - Marcel Dekker, 1994. - ISBN 0-8247-9230-0 .

Literatură

Resurse tipărite

Anton, Howard; Bivens, Irl & Davis, Stephen (2 februarie 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (ed. a 8-a), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (iunie 1967), Calcul, voi. 1: Calcul cu o singură variabilă cu o introducere în algebra liniară (ed. a doua), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 , < https://archive.org/details/calculus01apos >
Apostol, Tom M. (iunie 1969), Calcul, voi. 2: Calcul cu mai multe variabile și algebră liniară cu aplicații (ed. a doua), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 , < https://archive.org/details/calculus01apos >
Eves, Howard (2 ianuarie 1990), O introducere în istoria matematicii (ed. a 6-a), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P. & Edwards, Bruce H. (28 februarie 2006), Calcul: Funcții transcendentale timpurii (ed. a 4-a), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
Spivak, Michael (septembrie 1994), Calculus (ed. a treia), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (24 decembrie 2002), Calculus (ed. a 5-a), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 , < https://archive.org/details/calculus0000stew >
Thompson, Silvanus P. (8 septembrie 1998), Calculus Made Easy (ed. revizuită, actualizată, extinsă), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Cărți disponibile online

Crowell, Benjamin (2003), Calculus , < http://www.lightandmatter.com/calc/ >
Garrett, Paul (2004), Note despre primul an de calcul , < http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ >
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus , < http://www.understandingcalculus.com/ >
Keisler, H. Jerome (2000), Calcul elementar: o abordare folosind infinitezimale , < http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html >
Mauch, Sean (2004), versiunea integrală a cărții de matematică aplicată a lui Sean , < http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html >
Sloughter, Dan (2000), Ecuații de diferență la ecuații diferențiale , < http://synechism.org/drupal/de2de/ >
Strang, Gilbert (1991), Calcul , < http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm >
Stroyan, Keith D. (1997), O scurtă introducere în calculul infinitezimal , < http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm >
Wikibooks, Calculus , < http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus >

Link -uri

Derivată a doua discretă a punctelor distanțate neuniform

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare