Similitudine

Similitudinea este o transformare a spatiului euclidian , in care pentru oricare doua puncte , si imaginile lor , exista o relatie , pentru unele fixe , numita coeficient de asemanare . $A$ $B$ $A'$ $B'$ $|A'B'|=k\cdot |AB|$ $k\neq 0$

Conceptul de similaritate este definit într-un mod similar pentru spațiile metrice, pentru spațiile riemanniene (vezi secțiunea Generalizări ).

Istorie

Cifre similare au fost considerate în Grecia antică în secolele V-IV î.Hr.; ele apar în scrierile lui Hipocrate din Chios , Archytas din Tarentum , Eudoxus din Cnidus și în Cartea a VI-a a Elementelor lui Euclid .

Cazuri speciale

O homotezie este o asemănare care are un punct fix și păstrează orientarea .
O mișcare este o transformare de similitudine cu un coeficient, adică o transformare a planului care păstrează distanțele. $k=1$

Definiții înrudite

O figură se numește asemănătoare unei figuri dacă există o transformare de asemănare pentru care . $F$ $F'$ $F\mapsto F'$
- Asemănarea cifrelor este o relație de echivalență .
- Pentru a indica asemănarea, se folosește de obicei o pictogramă - înseamnă că cifrele și sunt similare. $\sim$ $F\sim F'$ $F$ $F'$

Metoda similarității

Asemănarea cifrelor se aplică la rezolvarea multor probleme de construcție .

Metoda asemănării constă în faptul că, folosind unele date ale problemei, ei construiesc mai întâi o figură asemănătoare cu cea dorită, apoi se trece la cea dorită. Această metodă este deosebit de convenabilă atunci când o singură cantitate dată este lungimea, iar toate celelalte mărimi sunt fie unghiuri, fie rapoarte ale liniilor.

Un exemplu clasic de problemă de similitudine este construcția unui cerc tangent la două laturi ale unui unghi dat și care trece printr-un punct dat. [unu]

Proprietăți

Asemănarea este o mapare unu-la-unu a unui spațiu euclidian pe sine.
Asemănarea este o transformare afină a planului.
Asemănarea păstrează ordinea punctelor pe linie, adică dacă un punct se află între punctele , și , , - imaginile lor corespunzătoare cu o oarecare asemănare, atunci se află și între puncte și . $B$ $A$ $C$ $B'$ $A'$ $C'$ $B'$ $A'$ $C'$
Punctele care nu se află pe o linie dreaptă, cu orice asemănare, merg la punctele care nu se află pe o singură dreaptă.
Asemănarea transformă o linie într-o linie, un segment de linie într-un segment de linie, o rază într-o rază, un unghi într-un unghi, un cerc într-un cerc.
Asemănarea păstrează unghiurile dintre curbe.
O asemănare cu coeficientul , care transformă fiecare linie într-o linie paralelă cu ea, este o homotezie cu coeficient sau . $k\nu=1$ $k$ $-k$
- Fiecare similitudine poate fi considerată o compoziție a mișcării și o oarecare homotezie cu un coeficient pozitiv. $D$ $\Gamma$
- O asemănare se numește adecvată ( improprie ) dacă mișcarea este adecvată ( improprie ). Asemănarea corectă păstrează orientarea figurilor, în timp ce asemănarea necorespunzătoare inversează orientarea. $D$
Două triunghiuri în geometria euclidiană sunt similare dacă
- unghiurile lor respective sunt egale sau
- laturile sunt proportionale. Vezi și Semne de similitudine ale triunghiurilor .
Suprafețele figurilor similare sunt proporționale cu pătratele liniilor lor similare (de exemplu, laturile). Astfel, ariile cercurilor sunt proporționale cu raportul dintre pătratele razelor lor.

Generalizări

Asemănarea este definită în mod similar (în timp ce se mențin proprietățile de mai sus) în spațiul euclidian tridimensional, precum și în spațiile euclidiene și pseudo-euclidiene n-dimensionale .

În spațiile metrice , precum și în spațiile Riemanniene , pseudo-Riemanniene și Finsler - dimensionale , asemănarea este definită ca o transformare care duce metricul unui spațiu în sine până la un factor constant. $n$

Mulțimea tuturor asemănărilor unui spațiu n-dimensional euclidian, pseudo-euclidian, riemannian, pseudo-riemannian sau Finsler constituie grupul de transformări Lie cu membri , numit grupul de transformări similare (omotetice) ale spațiului corespunzător. În fiecare dintre spațiile acestor tipuri, grupul -termen al transformărilor similare Lie conține un subgrup normal de -termen de mișcări. $r$ $r$ $(r-1)$

Vezi și

Note

↑ A. P. Kiselev . Geometrie elementară / editat de N. A. Glagolev . — 1938.

Link -uri

Egalitatea și asemănarea figurilor geometrice .
Grave D. A. Figuri homotetice // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Similaritate // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 373. - 1216 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Brockhaus și Efron Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph317228