Spațiu complet ceh

Spațiul complet Cech este un spațiu topologic care este o mulțime G-delta (adică intersecția unei familii numărabile de mulțimi deschise ) într-un mediu Hausdorff compactum .

Definiții echivalente

Prin ambient compacta

Un spațiu Tychonoff se numește Cech complet dacă una dintre următoarele afirmații echivalente este valabilă: $X$

spațiul este un set de tip într-un mediu compact; $X$ $G_{\delta}$
spaţiul este un tip stabilit în unele compactificări ale sale ; $X$ $G_{\delta}$ $c X$
spatiul este un tip stabilit in fiecare dintre compactificarile sale ; $X$ $G_{\delta}$ $c X$
spațiul este un tip stabilit în compactificarea Stone-Cech ; $X$ $G_{\delta}$ $\beta X$
rezultatul unor compactificări este un set de tip în ; $cX\setminus c(X)$ $F_{\sigma}$ $c X$
rezultatul fiecărei compactări este un set de tip în ; $cX\setminus c(X)$ $F_{\sigma}$ $c X$
creşterea compactării Cech-Stone este un set de tip în . $\beta X\setminus \beta(X)$ $F_{\sigma}$ $\beta X$

Caracteristica internă

Un spațiu Tikhonov este Cech complet dacă și numai dacă conține o familie numărabilă de învelișuri deschise , astfel încât intersecția oricărui sistem centrat de mulțimi închise , în care pentru fiecare există o mulțime cu un diametru mai mic decât învelișul , este ne- gol (se spune că diametrul setului , mai mic decât capacul , dacă există din , astfel încât ). $X$ $\{\mathfrak{U}_n\}_{n\in\N}$ $\mathfrak{F}$ $n\în N$ $F\în \mathfrak{F}$ $\mathfrak{U}_n$ $F$ $\mathfrak{U}_n$ $U$ $\mathfrak{U}_n$ $F\subset U$

Păstrarea completității conform Cech în timpul operațiunilor

Un subspațiu al unui spațiu Cech-complet este Cech-complet dacă și numai dacă poate fi reprezentat ca intersecția unei mulțimi închise și a unei mulțimi de tip . În special, completitatea Cech este moștenită de seturi închise și seturi de tip . $A$ $X$ $F\cap M$ $F$ $G_{\delta}$ $G_{\delta}$

Suma unei familii de spații topologice este Cech completă dacă și numai dacă toate spațiile din această familie sunt Cech complete.

Un produs al unei familii numărabile de spații topologice este Cech complet dacă și numai dacă toate spațiile sunt Cech complete. Mai mult decât atât, produsul unei familii nenumărate de spații Cech-complete poate să nu fie Cech-complet.

Dacă există o mapare perfectă între spațiile Tikhonov și , atunci spațiul este Cech complet dacă și numai dacă spațiul este Cech complet . Cu toate acestea, completitatea Cech nu este, în general, păstrată în timpul tranziției la imagine sub o mapare continuă deschisă și închisă . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Relația cu alte clase de spații

Clase mai restrânse

Toate spațiile compacte local (în special, toate spațiile compacte) sunt complete Cech.

Un spațiu metrizabil este Cech complet dacă și numai dacă este metrizabil printr-o metrică completă.

Clase mai largi

Fiecare spațiu Cech-complet este un spațiu k și este un spațiu Baire .

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.