K-spațiu (topologie)

k - spațiu(generat compact) esteun spațiu topologicîn care toate mulțimile sunt închise, a cărui intersecție cu fiecarecompactăa acestui spațiu este închisă. La aceasta se adaugă adesea spațiul Hausdorff

Definiție

Un spațiu topologic se numește k - spațiu dacă topologia sa este în concordanță cu familia tuturor subspațiilor sale compacte, adică dacă una dintre următoarele condiții echivalente este îndeplinită pentru fiecare submulțime: $X$ $A\subset X$

O mulțime este închisă în dacă și numai dacă oricare dintre intersecțiile sale cu fiecare mulțime compactă este închisă în această mulțime . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\subset X$ $K$
O mulțime este deschisă în dacă și numai dacă fiecare intersecție a acesteia cu fiecare mulțime compactă este deschisă în această mulțime . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\subset X$ $K$

Adesea, un k - spațiu este înțeles ca însemnând doar spații Hausdorff care satisfac definiția de mai sus.

Pentru spațiile Hausdorff, se poate da următoarea definiție echivalentă a unui k - spațiu: un spațiu Hausdorff este un k - spațiu dacă și numai dacă este imaginea unui spațiu Hausdorff compact local sub maparea factorilor (adică este homeomorf la un spațiu coeficient al unui spațiu Hausdorff compact local). $X$

Mapări în k - spații

O mapare a unui k - spațiu într-un spațiu topologic arbitrar este continuă dacă și numai dacă orice restricție a acestei mapări la o mulțime compactă este continuă. $f\coloan X\la Y$ $X$ $Y$ $f|_{K}$ $K$

O mapare continuă a unui spațiu topologic arbitrar într-un k - spațiu este închisă ( deschis , coeficient ) dacă și numai dacă, pentru fiecare submulțime compactă din interval , restricția acestei mapări este închisă (respectiv, deschis, coeficient). $f\coloan X\la Y$ $X$ $Y$ $K$ $Y$ $f_{K}\colon f^{{-1}}(K)\la K$

Dacă sunt date două mapări factoriale și , ale căror domenii și și produsul intervalelor lor sunt k - spații, atunci produsul cartezian al acestor mapări este o mapare factorială. $f_{1}\colon X_{1}\la Y_{1}$ $f_{2}\colon X_{2}\la Y_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $Y_{1}\ori Y_{2}$ $f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$

Salvare la operațiuni

Fiecare subspațiu deschis și fiecare subspațiu închis al unui k -spațiu Hausdorff este un k - spațiu. Totuși, un subspațiu arbitrar al unui k -spațiu Hausdorff nu trebuie să fie un k - spațiu.

Suma unei familii de spații topologice este un k -spațiu dacă și numai dacă toate spațiile din această familie sunt k -spații.

Produsul unui k -spațiu Hausdorff și al unui spațiu Hausdorff compact local este un k - spațiu. Mai mult, produsul a două k -spații nu este, în general, un k -spațiu.

Imaginea Hausdorff a unui k - spațiu Hausdorff sub o mapare factorială (în special, deschisă sau închisă) este un k - spațiu. Mai mult, imaginea unui spațiu k Hausdorff sub o mapare continuă arbitrară poate să nu fie un spațiu k , chiar dacă este perfect normal .

Relația cu alte clase de spații

Fiecare spațiu Cech-complet (în special, fiecare spațiu Hausdorff compact local și, prin urmare, fiecare varietate topologică ) este un k - spațiu.

Fiecare spațiu secvențial (în special, orice spațiu cu prima axiomă a numărabilității și, prin urmare, orice spațiu metric ) este un k - spațiu.

Orice spațiu de tip numărabil punctual este un k - spațiu.

Fiecare complex CW este un k -spațiu.

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Topologie generală. — M .: Nauka, 1968.
Spanier, E. Topologie algebrică. — M .: Mir , 1971. — 680 p.