Un patrulater complet (uneori termenul este folosit complet cu patru vârfuri ) este un sistem de obiecte geometrice format din oricare patru puncte din plan , dintre care trei nu se află pe aceeași linie și șase linii care leagă șase perechi de puncte. Configurația duală cu un patrulater complet - un patrulater complet - este un sistem de patru linii, dintre care trei nu trec prin același punct și șase puncte de intersecție ale acestor drepte. Lachlan [1] a folosit numele de tetrastigma [2] pentru un patrulater complet și tetragam pentru un patrulater complet . Acești termeni, deși rari, se găsesc în literatură.
O figură constând din patru puncte pe un plan, dintre care trei nu sunt coliniare și șase linii care le unesc în perechi se numește patrulater complet . Laturile care nu au un vârf comun într-un patrulater complet se numesc opuse . Punctele de intersecție a trei perechi de laturi opuse se numesc puncte diagonale [3] .
O figură constând din patru linii drepte într-un plan, dintre care trei nu converg într-un punct și șase puncte ale intersecției lor pe perechi, se numește patrulater complet . Cele patru drepte sunt numite laturi, iar cele șase puncte sunt numite vârfuri ale patrulaterului. Vârfurile care nu sunt adiacente aceleiași laturi sunt numite opuse . Liniile drepte care leagă trei perechi de vârfuri opuse se numesc diagonale [3] .
O serie de șase (cinci, patru) puncte în care laturile unui patrulater complet intersectează o anumită dreaptă se numește o serie de puncte generate de patrulaterul complet [4] . Dacă o astfel de dreaptă trece prin două puncte diagonale A și C și B și D sunt punctele în care celelalte două laturi intersectează linia AC , atunci perechile de puncte AC și BD se numesc quad-uri armonice și se notează H(AC, BD ) . Punctele B și D se numesc armonice față de A și C , iar punctul D (sau B ) se numește conjugat armonic cu punctul B (sau D ) față de perechea de puncte A și D [5] .
Dacă există o corespondență între punctele a două figuri, astfel încât liniile care leagă fiecare pereche de puncte corespunzătoare converg într-un punct O , atunci figurile se numesc perspectivă față de centrul O [3] .
Dacă există o corespondență între liniile drepte a două figuri, astfel încât punctele de intersecție ale fiecărei perechi de linii corespunzătoare se află pe aceeași linie dreaptă l , atunci aceste figuri se numesc perspectivă față de axa l .
După descoperirea planului Fano , o geometrie finită în care punctele diagonale ale unui patrulater complet sunt coliniare , unii autori adaugă la axiomele geometriei proiective axioma Fano , postulând că punctele diagonale nu sunt coliniare [6] [7] .
Ca sistem de puncte și linii în care toate punctele aparțin aceluiași număr de linii și toate liniile conțin același număr de puncte, un patrulater complet și un patrulater complet sunt configurații proiective . În notația de configurație proiectivă, un patrulater complet este scris ca (4 3 6 2 ), iar un patrulater complet ca (6 2 4 3 ), unde numerele din această notație indică numărul de puncte, numărul de linii care trec prin fiecare punct. , numărul de linii și numărul de puncte de pe fiecare linie dreaptă. Configurația duală proiectivă a unui patrulater complet este un patrulater complet și invers. Pentru oricare două patrulatere complete sau oricare două patrulatere complete, există o transformare proiectivă unică , care transformă una dintre configurații în cealaltă [8] .
Karl Staudt a transformat bazele matematicii în 1847 folosind patrulaterul complet când a observat că „proprietățile armonice” se bazează pe proprietățile concomitente ale patrulaterului - punctele de intersecție ale laturilor opuse ale patrulaterului și intersecția diagonalelor cu patrulaterul. linia care trece prin aceste puncte formează un cvartet armonic . Cercetătorii geometriei moderne și algebrei au atras atenția asupra influenței lui Staudt asupra lui Mario Pieri și Felix Klein .
Wells [9] descrie unele proprietăți suplimentare ale patrulaterelor complete care folosesc proprietăți metrice ale planului euclidian care nu sunt pur proiective. Punctele medii ale diagonalelor sunt coliniare și (după cum a demonstrat Isaac Newton ) centrul secțiunii conice se află pe aceeași linie dreaptă , tangentă la patrulater cu patru drepte. Oricare trei patrulatere drepte formează laturile unui triunghi. Ortocentrii celor patru triunghiuri astfel formate se află pe o altă dreaptă perpendiculară pe prima linie (trecând prin punctele medii ale diagonalelor). Cercurile circumscrise ale acestor patru triunghiuri se intersectează într-un punct. În plus, trei cercuri construite pe diagonale ca diametre aparțin unui creion de cercuri [10] , a cărui axă trece prin ortocentri.
Cercurile polare ale triunghiurilor patrulaterului complet formează un sistem de cercuri coaxiale [11] .