Corespondență Galois

Corespondența Galois ( Galois connection ) este o relație de ordin-teoretică între două structuri matematice , mai slabă decât izomorfismul , generalizând legătura din teoria Galois între subcâmpurile unei extensii și un sistem ordonat de incluziune de subgrupuri ale grupului Galois corespunzător . Conceptul poate fi extins la orice structură dotată cu o relație de preordonare .

Conceptul a fost introdus de Garrett Birkhoff în 1940, iar el și Oystin Ore au stabilit proprietățile de bază în anii 1940 [1] . Definiția inițială este antimonotonă , ulterior atât în algebra generală cât și în aplicații , definiția monotonă , alternativă și duală acesteia în sensul teoretic al categoriei , a început să fie folosită mai des .

Închiderea Galois este o operație care este o închidere formată din compoziția componentelor corespondenței Galois; în cazul antimonoton, ambele compoziții posibile ale funcțiilor de corespondență formează închideri, în cazul monoton, doar una dintre astfel de compoziții.

Corespondența Galois este utilizată pe scară largă în aplicații, în special, joacă un rol fundamental în analiza conceptelor formale (metodologie de analiză a datelor folosind teoria rețelelor ).

Corespondență Galois antimonoton

Definiția antimonotonă a fost dată inițial de Birkhoff și corespunde direct conexiunii din teoria Galois. Conform acestei definiții, orice pereche de funcții și între mulțimi parțial ordonate și care satisface următoarele relații se numește corespondență Galois: $\varphi:A\la B$ $\psi:B\la A$ $A$ $B$

dacă , atunci (antimonotonicitate ), $a\leqslant a'$ $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ $\varphi$
dacă , atunci (antimonotonicitate ), $b\leqslant b'$ $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ $\psi$
$\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (extensiune ), $\psi \circ \varphi$
$\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (extensiune ). $\varphi \circ \psi$

Compozițiile și se dovedesc a fi monotone și au, de asemenea, proprietatea idempotente ( și ), prin urmare, sunt închideri pe și, respectiv. $\psi \circ \varphi$ $\varphi \circ \psi$ $(\psi \circ \varphi)\circ (\psi \circ \varphi)=\psi \circ \varphi$ $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$ $B$ $A$

Definiția unei corespondențe Galois antimonotone pentru funcțiile antimonotone și următoarea condiție ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): dacă și numai dacă . $\varphi$ $\psi$ $b\leqslant \varphi (a)$ $a\leqslant \psi (b)$

Prin analogie cu polarii din geometria analitică, funcțiile legate de corespondența Galois antimonotonă se numesc polarități [4] .

Corespondență monotonă Galois

Funcționează monoton și sunt în corespondență Galois monotonă dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $\gamma:A\la B$ $\delta:B\la A$

$\gamma (\delta (b))\geqslant b$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Echivalentă acestei definiții este îndeplinirea unei condiții duale cu condiția Schmidt pentru varianta antimonotonă: dacă și numai dacă , este adesea luată ca definiție inițială [5] . $b\leqslant \gamma (a)$ $\delta (b)\leqslant a$

În cazul unei corespondențe Galois monotone, se vorbește și de conjugarea funcțiilor, întrucât în teoria categoriilor o astfel de corespondență dă functori adjuncți . Spre deosebire de forma antimonotonă, în care componentele corespondenței ( polaritatea ) sunt simetrice, în corespondența monotonă se distinge funcția conjugată superioară - ale cărei valori participă la condiția din dreapta în relațiile de ordine (în această definiție - , iar conjugatul inferior - ale căror valori participă la relațiile de ordine din condiția din stânga ( ) Uneori se spune că funcția adjunctă inferioară este adjunctă -deformată (caz în care cea superioară se numește pur și simplu "adjunct"). $\gamma$ $\delta$

Operatorul de închidere în corespondența monotonă Galois este compoziția , în timp ce compoziția nu este o închidere, așa că în loc să fie extensivă, condiția inversă este îndeplinită pentru aceasta (o funcție cu un astfel de set de proprietăți este uneori numită operator nuclear [6] ] sau o co-închidere). $\delta \circ \gamma$ $\gamma \circ \delta$

Functori adjuncți

Orice poset poate fi considerat ca o categorie în care pentru fiecare pereche de obiecte setul de morfisme constă dintr-un singur morfism dacă și în caz contrar este gol. Pentru categoriile generate în acest mod din mulțimi parțial ordonate și , mapările și , care sunt într-o corespondență Galois monotonă, sunt functori adjuncți . $(A,\leqslant )$ $a,a'\in A$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $A$ $B$ $\gamma:A\la B$ $\delta:B\la A$

Functorii conjugați sunt și mapările și ( este o categorie duală cu , adică obținută prin inversarea morfismelor), care se află în corespondența Galois antimonotonă [7] . $\varphi:A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi:B\la A^{\mathrm {op} }$ $A^{\mathrm {op} }$ $A$

Proprietăți

Alcătuirea corespondențelor

Corespondența Galois, atât în formă antimonotonă, cât și monotonă, poate fi supusă operației de compunere - dacă perechi de mapări și sunt date în corespondența Galois , atunci compoziția este: $(\varphi _{1}:A\la B,\psi _{1}:B\la A)$ $(\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B$

(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1 },\psi _{1}\circ \psi _{2})

este din nou corespondența Galois.

Exemple

Teoria Galois și generalizări

În teoria lui Galois, se stabilește o corespondență între sistemul de subcâmpuri intermediare ale unei extensii algebrice a unui câmp și sistemul de subgrupuri ale grupului Galois al acestei extensii. $L\supset K$

Un exemplu din teoria Galois poate fi generalizat în mod natural: în loc de grupul de automorfism al unui câmp, se poate considera un grup arbitrar , care acționează asupra mulțimii de mapare , și mapări între booleeni ordonați în includere și . În acest caz, mapările și , definite după cum urmează: $G$ $U$ $\cdot:G\time U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi :{\mathcal {P}}U\la {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\la {\mathcal {P}}U$

{\ displaystyle \ varphi (X) = \ {\ sigma \ mid u \ în X \ Rightarrow \ sigma \ cdot u = u \)}

(selectează un subgrup în , lăsând toate punctele pe loc sub acțiune ),

G

u\in X

\cdot

\psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}

(asociaza multimii de puncte fixe ale automorfismelor sub actiunea )

S\subseteq G

\cdot

sunt în corespondența Galois antimonotonă [7] .

Următoarea generalizare constă în a lua în considerare mulțimi arbitrare între care este dată o relație binară arbitrară și mapări între booleenii acestor mulțimi și , definite astfel: $\star \subseteq A\times B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

\varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\}

\psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\}

În acest caz, și sunt, de asemenea, în corespondența Galois antimonoton. $\varphi$ $\psi$

Boolean și generalizări

Un boolean ordonat prin includere a unei mulțimi arbitrare și a unui subset fix al acestuia poate fi asociat cu o corespondență Galois monotonă între mapările definite după cum urmează: ${\mathcal {P}}A$ $F\subseteq A$ $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\la {\mathcal {P}}A$

\varphi (X)=F\cap X

\psi (X)=X\cup (A\setminus F)

O astfel de relație poate fi stabilită în orice algebră Heyting , în special, în orice algebră booleană (în algebrele booleene în ceea ce privește algebra logicii , rolul funcției conjugate superioare este jucat de conjuncția , iar conjugatul inferior prin implicația materială ).

Grile complete

Note

↑ Gretzer, 1981 , p. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (germană) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , nr. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , p. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , p. 163.
↑ Giertz, 2003 , p. 22.
↑ Giertz, 2003 , p. 26.
↑ 1 2 McLane, 2004 , p. 114.

Literatură

Birkhoff G. Teoria zăbrelelor. — M .: Nauka , 1984. — 567 p.
G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott . Conexiuni Galois // Grile continue și domenii. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 p. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
Gretzer G. Teoria generală a rețelelor. — M .: Mir , 1981. — 456 p.
McLane S. Capitolul 4. Functori adjuncţi // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

minereu de Øystein. Galois Connexions (engleză) // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1944. - Vol. 55 . - P. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7 .