Transformarea sistemelor de coordonate geodezice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 septembrie 2020; verificările necesită 8 modificări .

În geodezie , sarcina de a trece între diferite sisteme de coordonate apare din existența mai multor sisteme de coordonate care au apărut în întreaga lume de-a lungul timpului. Utilizarea diferitelor sisteme de coordonate în rezolvarea problemelor practice de geodezie , cartografie , navigație și în sistemele de informații geografice este inevitabilă. Există mai multe tipuri de transformări de coordonate: tranziție între diferite formate de coordonate , tranziție între diferite sisteme de coordonate și proiecții hărți și transformare de date . Toate aceste tipuri de transformare vor fi discutate în acest articol.[unu]

Modificarea formatului și a unităților

A desemna un loc geografic înseamnă de obicei a transmite latitudinea și longitudinea locului. Valorile numerice pentru latitudine și longitudine pot fi reprezentate în mai multe tipuri diferite de unități și formate: [2]

sexagesimal : grade, minute și secunde: 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ V

grade și minute zecimale: 40° 26.767′ N 79° 58.933′ W

grade zecimale : 40,446° N 79,982° V

Sunt 60 de minute într-un grad și 60 de secunde într-un minut. Prin urmare, pentru a converti din grade/minute/secunde în grade zecimale, puteți folosi formula:

grade zecimale=grade+minute/60+secunde/3600.

Pentru a converti înapoi din formatul de grade zecimale în formatul de grade/minute/secunde, puteți utiliza formulele:

grade = [grade zecimale]

minute =[60*(decimale grade-grade)]

secunde =3600*(decimale grade-grade)-60*minute

unde notația [ x ] înseamnă că trebuie să luați partea întreagă a lui x și să faceți referire la „ funcția de raft ”.

Tranziție între diferite sisteme de coordonate

O transformare a sistemului de coordonate este o tranziție de la un sistem de coordonate la altul, cu ambele sisteme de coordonate bazate pe aceeași dată geodezică. Adesea, sarcina de transformare este schimbarea de la un sistem de coordonate geodezice la coordonate dreptunghiulare sau schimbarea de la o proiecție pe hartă la alta.

De la un sistem de coordonate geodezice la unul dreptunghiular

Coordonatele dreptunghiulare ale punctelor din spațiu pot fi calculate din coordonatele geodezice cunoscute ale acestor puncte (latitudine B, longitudine L, înălțime H) folosind formulele: [3]

{\begin{aligned}X&=\left(N(B)+H\right)\cos {B}\cos {L}\\Y&=\left(N(B)+H\right)\ cos {B}\sin {L}\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(B)+H\right)\sin {B}\end {aliniat}}

Unde

N(B)={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}B+b^{2}\sin ^{2}B}}} ={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}},

unde și sunt razele ecuatoriale (semi-axa majoră) și, respectiv, polare (semi-axa minoră). este pătratul primei excentricități a elipsoidului. raza de curbură a primei verticale este distanța de-a lungul normalei la elipsoid de la punctul de intersecție a suprafeței elipsoidului cu normala la axa oZ (Fig. 1). $A$ $b$ $e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2)))$ $\,N(B)$

De la cartezian la geodezic

Când treceți de la coordonatele spațiale dreptunghiulare la un sistem de coordonate geodezice (cum ar fi WGS84 ), latitudinile geodezice B și înălțimile H trebuie adesea calculate iterativ, adică prin efectuarea de aproximări succesive. În ceea ce privește longitudinile L, acestea sunt calculate în mod obișnuit.

Există mai multe metode de calculare a latitudinilor și înălțimii geodezice, vom lua în considerare două dintre ele.

Metoda Newton-Raphson

Următoarea ecuație irațională Bowring [4] pentru latitudinea geodezică este rezolvată prin metoda iterativă Newton-Raphson : [5] [6]

$\kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+(1-e^{2})Z^{2}\kappa ^{2 }}}}=0,$

unde , $p={\sqrt {x^{2}+y^{2)})$

Latitudinea B poate fi găsită din ecuație . $\kappa ={\frac {p}{Z}}\tan(B)$

Înălțimea H se calculează astfel:

$H=e^{-2}(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\ kappa ^{2}}}.$

O iterație poate fi convertită în următoarea formă:

$\kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3)} {c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i} ^{3}}{c_{i}-p^{2}}},$

Unde $c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\ dreapta)^{3/2}}{ae^{2}}},$ $\kappa _{0}=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.$

O constantă este o valoare de pornire bună pentru o iterație când . Bowring a arătat că, în astfel de cazuri, prima iterație oferă deja o soluție suficient de precisă. El a folosit funcții trigonometrice suplimentare în formularea sa originală. $\,\kappa _{0}$ $H\aprox 0$

Decizia Ferrari

Ecuația de mai sus poate fi rezolvată prin metoda Ferrari : [7] [8] $\kappa$

${\begin{aligned}\zeta &=(1-e^{2})z^{2}/a^{2},\\[6pt]\rho &=(p^{2}/ a^{2}+\zeta -e^{4})/6,\\[6pt]s&=e^{4}\zeta p^{2}/(4\rho ^{3}a^{2 }),\\[6pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2))))),\\[6pt]u&=\rho (1+t +1/t),\\[6pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta )),\\[6pt]w&=e^{2}(u+v- \zeta )/(2v),\\[6pt]\kappa &=1+e^{2}({\sqrt {u+v+w^{2}}}+w)/(u+v). \end{aliniat}}$

Aplicarea deciziei Ferrari

Există o serie de metode și algoritmi, dar cea mai precisă, conform lui Zhu [9] , este următoarea secvență stabilită de Heikkinen [10] . Se presupune că parametrii geodezici sunt cunoscuți.

${\begin{matrix}r&=&{\sqrt {X^{2}+Y^{2))}\\e'^{2}&=&(a^{2}-b^{ 2})/b^{2}\\F&=&54b^{2}Z^{2}\\G&=&r^{2}+(1-e^{2})Z^{2}-e^ {2}(a^{2}-b^{2})\\c&=&{\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\s&=&{ \sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c))))\\P&=&{\frac {F}{3\left(s+{\frac {1}{} s}}+1\right)^{2}G^{2}}}\\Q&=&{\sqrt {1+2e^{4}P}}\\r_{0}&=&{\frac {-(Pe^{2}r)}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+1/Q\right)-{ \frac {P(1-e^{2})Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\U&= &{\sqrt {(re^{2}r_{0})^{2}+Z^{2))}\\V&=&{\sqrt {(re^{2}r_{0})^{ 2}+(1-e^{2})Z^{2}}}\\z_{0}&=&{\frac {b^{2}Z}{aV}}\\H&=&U\left (1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\B&=&\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{r} }\right]\\L&=&\arctan 2[Y,X]\end{matrice}}$

Notă: arctan2 [Y, X] este tangenta din spate la cele patru cadrane.

Seria de putere

Pentru e 2 mic, seria de putere începe de la $\kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i)$

\alpha _{0}=1;

\alpha _{1}={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2))});

\alpha _{2}={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2)}}+2a^{2}p^{2)){2 (Z^{2}+p^{2})^{2}}}.

Trecerea de la sistemul de coordonate geodezice la ENU și invers

Conversia din coordonatele geodezice în coordonatele topocentrice ENU constă în doi pași:

Conversia coordonatelor dintr-un sistem geodezic într-unul dreptunghiular.
Conversie de coordonate de la sistemul de coordonate ENU dreptunghiular la topocentric.

Conversia coordonatelor din coordonatele ENU dreptunghiulare în coordonate topocentrice

Pentru a converti coordonatele dreptunghiulare în coordonate topocentrice, trebuie să cunoașteți punctul de plecare al sistemului de coordonate topocentrice, de obicei acesta este situat într-un anumit punct de observare. Dacă observația se face în punctul , iar obiectul observat se află la atunci vectorul rază a acestei direcții în sistemul de coordonate ENU are forma: $\{X_{r}, Y_{r}, Z_{r}\}$ $\{X_{p},Y_{p},Z_{p}\}$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin L_{r}&\cos L_{r}&0\\-\ sin B_{r}\cos L_{r}&-\sin B_{r}\sin L_{r}&\cos B_{r}\\\cos B_{r}\cos L_{r}&\cos B_ {r}\sin L_{r}&\sin B_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\ Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}

Transformarea coordonatelor din sistemul de coordonate topocentric ENU în unul dreptunghiular.

Prin transformarea inversă a coordonatelor dintr-un sistem dreptunghiular, obținem un sistem de coordonate topocentric:

${\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \ phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}$

Trecerea la o altă proiecție a hărții

Conversia coordonatelor și a pozițiilor de pe hartă între diferite proiecții ale hărții , legate la aceeași suprafață geodezică , se poate face fie folosind formule pentru tranziția directă de la o proiecție la alta, fie mai întâi proiecția este convertită într-un sistem de coordonate intermediar, cum ar fi dreptunghiular, și deja din el în proiecție . Formulele folosite pot fi complexe, în unele cazuri transformarea nu are o soluție în formă închisă, fiind necesare metode aproximative. De obicei, programele de calculator sunt folosite pentru a efectua sarcini de transformare a coordonatelor, de exemplu, cu programul GEOTRANS susținut de DoD și NGA. [unsprezece] $A$ $B$

Transformări de date

Transformările între date se pot face în diferite moduri. Există transformări care vă permit să faceți o tranziție directă de la coordonatele geodezice ale unui datum la coordonatele geodezice ale altei date. Există tranziții mai puțin directe care convertesc coordonatele geodezice în geocentrice (ECEF), convertesc coordonatele geocentrice de la un datum la altul, apoi convertesc coordonatele geocentrice ale altui datum înapoi în geodezice. Există și transformări de proiecție care vă permit să faceți o tranziție directă de la o pereche (datum, proiecție) la alta (datum, projection) pereche.

Transformări de proiecție

Transformările de proiecție vă permit să faceți o tranziție directă de la coordonatele de pe hartă pentru o pereche (proiecție hărții, datum) la coordonatele de pe hartă pentru o altă pereche (proiecție hartă, datum). Un exemplu este metoda NADCON pentru conversia din 1927 North American Datum (NAD) la 1983 NAD datum [12] . Rețeaua de referință de înaltă precizie (HARN), o versiune de înaltă precizie a transformărilor NADCON, are o precizie de aproximativ 5 centimetri. Versiunea 2 de transformare națională ( NTv2 ) este versiunea canadiană a NADCON pentru tranziția între NAD 1927 și NAD 1983 . Metodele HARN sunt cunoscute și ca NAD 83/91 și High Precision Grid Networks (HPGN) [13] . Ulterior, Australia și Noua Zeelandă au adoptat formatul NTv2 pentru a crea metode de transformare a proiecției pentru tranzițiile între propriile date locale.

La fel ca transformările care utilizează ecuații de regresie multiple, metodele de proiecție folosesc interpolarea de ordin scăzut pentru a transforma coordonatele hărții, dar în două spații în loc de trei. NOAA furnizează software (ca parte a NGS Geodetic Toolkit) pentru a produce transformări NADCON. [14] [15]

Transformarea lui Molodensky

Transformarea Molodensky vă permite să faceți o tranziție directă între coordonatele geodezice ale diferitelor date fără a fi nevoie de o tranziție intermediară la coordonatele geocentrice. [16] Necesită trei decalaje între centrele sistemelor de coordonate și diferențe între semi-axele majore și parametrii de compresie ai elipsoizilor de referință.

Transformarea Molodensky este utilizată de Agenția Națională de Informații Geospatiale (NGA) în cartea lor albă TR8350.2, precum și în programul GEOTRANS susținut de NGA. [17] Transformarea Molodensky a fost populară înainte de apariția computerelor moderne, iar metoda face parte din multe programe geodezice.

Ecuații de regresie multiplă

Transformările de date folosind metode empirice de regresie multiplă au fost concepute pentru a obține o precizie mai mare pentru regiuni geografice mici decât transformările standard Molodensky. Datele de transformare sunt folosite pentru a converti datele locale care sunt generate pentru continente sau regiuni mai mici în date globale, cum ar fi WGS 84 . [18] NIMA TM 8350.2, Anexa D [19] enumeră transformările folosind ecuații de regresie multiple de la mai multe date locale la WGS 84 , cu o precizie de aproximativ 2 metri. [douăzeci]

Metoda ecuațiilor de regresie multiple permite transformarea directă a coordonatelor geodezice fără conversie intermediară în coordonate geocentrice. Coordonatele geodezice din noul datum B sunt modelate ca polinoame până la gradul al nouălea în coordonatele geodezice ale originii A. De exemplu, incrementul poate fi descompus ca (este afișată doar expansiunea pătratică): $\phi _{B},\lambda _{B},h_{B}$ $\phi _{A},\lambda _{A},h_{A}$ $\phi _{B}$

$\Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2} +\cdots$

Unde

${\begin{aligned}a_{i}&={\mbox{parametri ajustați prin regresie multiplă}}\\U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&= K (\lambda _{A}-\lambda _{m})\\K&={\mbox{factor de scară}}\\\phi _{m},\lambda _{m}&={\mbox{datum start }}A\\\end{aliniat}}}$

pentru și se construiesc ecuații similare. Cu un număr suficient de perechi de coordonate (A, B) pentru punctele din ambele date, pentru statistici bune, metodele de regresie multiple sunt folosite pentru a se potrivi parametrilor acestor polinoame. Polinoamele, împreună cu coeficienții ajustați, formează ecuațiile de regresie multiplă. $\Delta \lambda$ $\Delta h$

Transformarea Helmert

Utilizarea transformării Helmert atunci când trecerea de la coordonatele geodezice ale unui datum la coordonatele geodezice ale unui datum are loc în trei pași: $A$ $B$

1 Convertiți coordonatele geodezice ale originii în geocentrice; $A$

2 Aplicarea transformării Helmert, cu parametrii de transformare corespunzători pentru , pentru a trece de la coordonatele de referință geocentrice la coordonatele de referință geocentrice ; $A la B$ $A$ $B$

3 Conversia coordonatelor geocentrice în coordonate geodezice pentru o datum . $B$

Pentru coordonatele XYZ geocentrice, transformata Helmert are forma: [21]

${\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end {bmatrix})={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\ c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&- r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix }}.$

Transformarea Helmert este o transformare cu șapte elemente cu trei parametri de compensare , trei parametri de rotație și un parametru de scară . Transformarea Helmert este o metodă aproximativă care poate fi considerată exactă doar atunci când parametrii de transformare sunt mici în comparație cu valorile vectorilor sistemului de coordonate geocentric. În aceste condiții, transformarea poate fi considerată reversibilă. [22] $c_{x},c_{y},c_{z)$ $r_{x},r_{y},r_{z)$ $s$

Transformarea Helmert cu paisprezece parametri, cu o dependență liniară de timp pentru fiecare parametru, poate fi utilizată pentru a observa variația în timp a coordonatelor geografice datorită proceselor geomorfologice precum deriva continentală [23] și cutremure . [24] A fost convertit în software, cum ar fi instrumentul Horizontal Time Dependent Positioning (HTDP) din software-ul US NGS. [25]

Transformarea Molodensky-Badekas

Pentru a decupla decalajele și rotațiile de transformare Helmert, trei parametri suplimentari pot fi utilizați pentru a apropia un nou centru de rotație XYZ de coordonatele care sunt transformate. Această transformare cu zece parametri se numește transformarea Molodensky-Badekas și nu trebuie confundată cu transformarea Molodensky mai simplă .

Ca și în cazul transformării Helmert, utilizarea transformării Molodensky-Badekas constă în trei pași:

Conversia coordonatelor geodezice ale unui datum în geocentric. $A$
Aplicarea transformării Molodensky-Badekas, cu parametrii de transformare corespunzători pentru , pentru a trece de la coordonatele de referință geocentrice la coordonatele de referință geocentrice . $A la B$ $A$ $B$
Convertiți coordonatele geocentrice în coordonate geodezice pentru un datum . $B$

Transformarea are forma [26] :

{\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix})={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\ Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{ bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix} X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+ \Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{ 0}\end{bmatrix}}.

unde este originea inversării și transformării la scară și este factorul de scară.

(X_{A}^{0},~Y_{A}^{0},~Z_{A}^{0})

\Delta S

Transformarea Molodensky-Badekas este utilizată pentru a converti datele geodezice locale în date globale, cum ar fi WGS 84 . Spre deosebire de transformarea Helmert, transformarea Molodensky-Badekas este ireversibilă datorită faptului că originea inversării se referă la data originală.

Vezi și

Sistem de coordonate geodezice
Sistem de coordonate dreptunghiular
Lista proiecțiilor hărților
Proiecția Gauss-Kruger
Universal transversal Mercator
Tranziție între diferite sisteme de coordonate

Referințe de literatură

↑ Roger Foster Dan Mullaney Basic Geodesy Articolul 018: Conversions and Transformations (4 martie 2014). Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 27 noiembrie 2020. (nedefinit)
↑ Great Britain Ordnance Survey. transformator de coordonate . Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 12 august 2013. (nedefinit)
↑ B. Hofmann-Wellenhof H. Lichtenegger J. Collins. GPS - teorie și practică. — 282 p. — ISBN 3-211-82839-7 .
↑ Transformarea Bowring BR din coordonatele spațiale în coordonate geografice // Surv. Rev.. - 1976. - V. 23 , Nr. 181 . - S. 323-327 . - doi : 10.1179/003962676791280626 .
↑ Fukushima, T. Transformare rapidă de la coordonatele geocentrice la coordonate geodezice // J. Geod. : jurnal. - 1999. - Vol. 73 , nr. 11 . - P. 603-610 . - doi : 10.1007/s001900050271 . (Anexa B)
↑ Sudano, JJ (1997). „O conversie exactă dintr-un sistem de coordonate centrat pe pământ la latitudine, longitudine și altitudine”. doi:10.1109/NAECON.1997.622711
↑ Transformarea directă de la coordonatele geocentrice la coordonate geodezice // Vermeille, HH J. Geod .. - 2002. - T. 76 . - S. 451-454 . - doi : 10.1007/s00190-002-0273-6 .
↑ Irene PoloBlanco Gonzalez-Vega. O analiză simbolică a polinoamelor Vermeille și Borkowski pentru transformarea coordonatelor carteziene 3D în coordonate geodezice // J. Geod.. - 2009. - V. 83 . - S. 1071-1081 . - doi : 10.1007/s00190-009-0325-2 .
↑ J.Zhu. Conversia coordonatelor fixate pe Pământ centrate pe Pământ în coordonate geodezice // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. - 1994. - T. 30 . - S. 957-961 . - doi : 10.1109/7.303772 .
↑ M.Heikkinen. Geschlossene formeln zur berechnung räumlicher geodätischer koordinaten aus rechtwinkligen koordinaten // Z. Vermess .. - 1982. - T. 107 . - S. 207-211 .
↑ MSP GEOTRANS 3.3 (Geographic Translator) (downlink) . NGA: Filiala de Analiză a Sistemelor de Coordonate. Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 15 martie 2014. (nedefinit)
↑ ArcGIS Help 10.1: Metode bazate pe grilă . ESRI. Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original pe 4 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ NADCON/HARN Datum ShiftMethod . bluemarblegeo.com. Data accesului: 9 decembrie 2019. Arhivat din original pe 6 martie 2014. (nedefinit)
↑ NADCON - Versiunea 4.2 . NOAA. Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original pe 6 mai 2021. (nedefinit)
↑ Donald M. Mulcare. Setul de instrumente NGS, Partea 8: Instrumentul NADCON pentru sondajul geodezic național (link indisponibil) . Revista Topograf profesionist. Arhivat din original pe 6 martie 2014. (nedefinit)
↑ ArcGIS Help 10.1: Metode bazate pe ecuații . ESRI. Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original pe 4 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Transformări de origine . Agenția Națională de Informații Geospatiale. Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 9 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Manualul utilizatorului privind transformările de date care implică WGS 84(ed. a III-a), Publicația Specială Nr. 60, Monaco: International Hydrographic Bureau, august 2008 , < https://web.archive.org/web/20160412230130/http://www.iho.int/iho_pubs/standard/S60_Ed3Eng.pdf > . Consultat la 10 ianuarie 2017. .
↑ DEPARTAMENTUL DE APĂRARE SISTEMUL GEODETIC MONDIAL 1984 Definiția și relațiile sale cu sistemele geodezice locale . Agenția Națională de Imagini și Cartografii (NIMA). Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 11 aprilie 2014. (nedefinit)
↑ Taylor Chuck. Transformări de date de înaltă precizie . Data accesului: 9 decembrie 2019. Arhivat din original pe 4 ianuarie 2013. (nedefinit)
↑ Ecuații utilizate pentru transformările de referință . Informații Land Noua Zeelandă (LINZ). Data accesului: 9 decembrie 2019. Arhivat din original pe 6 martie 2014. (nedefinit)
↑ Geomatics Guidance Note Number 7, part 2 Coordinate Conversions and Transformations including Forms (link nu este disponibil) . Asociația Internațională a Producătorilor de Petrol și Gaze (OGP). Arhivat din original pe 6 martie 2014. (nedefinit)
↑ Paul Bolstad. Fundamentele GIS, ediția a 4-a . — Cărți Atlas. — 93 p. - ISBN 978-0-9717647-3-6 .
↑ Addendum la NIMA TR 8350.2: Implementarea Sistemului Geodezic Mondial 1984 (WGS 84) Cadrul de referință G1150 . Agenția Națională de Informații Geospatiale. Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 11 mai 2012. (nedefinit)
↑ HDDP - Poziționare în funcție de timp orizontală . US National Geodetic Survey (NGS). Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 25 noiembrie 2019. (nedefinit)
↑ Molodensky-Badekas (7+3) Transformări . Agenția Națională de Informații Geospatiale (NGA). Preluat la 9 decembrie 2019. Arhivat din original la 19 iulie 2013. (nedefinit)