Direct Alexandrova

Linia lui Alexandrov (sau linia lungă ) este un spațiu topologic , unul dintre principalele contraexemple utilizate în topologie [1] : o linie reală obișnuită este formată dintr-un număr numărabil de segmente situate unul după altul, iar linia Alexandrov este construită dintr-un număr nenumărat de astfel de segmente. Construită de Pavel Alexandrov în 1924 [2] .

Linia Alexandrov închisă este definită ca produsul cartezian al primului ordinal nenumărabil și al semiintervalului , echipat cu topologia de ordine (adică baza sa sunt intervalele ) indusă de ordinea lexicografică pe . O linie deschisă se obține prin îndepărtarea celui mai mic element .

Linia Alexandrov este echivalentă în putere cu linia reală și este un spațiu normal , ca orice spațiu cu topologia de ordine, cu toate acestea, are o serie de proprietăți neobișnuite. În special, topologia sa este nemetrizabilă , este compactă secvenţial , dar nu compactă, conectată pe cale , conectată local şi pur şi simplu conectată , dar nu contractabilă . Mai mult, linia Aleksandrov are structura unei varietăți topologice inseparabile [3] , în ciuda faptului că nu este paracompact , și satisface prima axiomă de numărabilitate , dar nu și a doua . Pe el, se poate introduce și structura unei varietăți diferențiabile [4] și chiar analitice [5] .

Note

  1. ↑ Steen, Lynn Arthur. Contraexemple în topologie / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. - Retipărire Dover din 1978. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - P. 71–72. - ISBN 978-0-486-68735-3 .
  2. ↑ P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ann. - 1924. - T. 92 . - S. 295-301 . - doi : 10.1007/BF01448011 .
  3. ↑ Unii autori cer ca baza să fie separabilă și numărabilă în definiția unei varietăți topologice, vezi Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology , CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632 , < https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122 >  .
  4. ↑ Nyikos, Peter J. (1992). „Diverse neteziri ale liniei lungi și fasciculele lor tangente”. Progrese în matematică . 93 : 129-213. DOI : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR  1164707 .
  5. ↑ Kneser, Hellmuth; Kneser, Martin (1960). „Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden”. Archive der Mathematik . 11 :104-106. DOI : 10.1007/BF01236917 .